2 Encuentra todos los enteros positivos $(r,s)$ tales que existe una sucesión no constante $a_n$ de enteros positivos tal que para todo $n=1,2,\dots$ \[ a_{n+2}= \left(1+\frac{{a_2}^r}{{a_1}^s} \right ) \left(1+\frac{{a_3}^r}{{a_2}^s} \right ) \dots \left(1+\frac{{a_{n+1}}^r}{{a_n}^s} \right ).\] Propuesto por Navid Safaei, Irán

1 Sean $a_1,\ldots,a_n$ y $b_1\ldots,b_n$ $2n$ números reales. Demuestra que existe un entero $k$ con $1\le k\le n$ tal que $ \sum_{i=1}^n|a_i-a_k| ~~\le~~ \sum_{i=1}^n|b_i-a_k|.$ (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

2 Considera sucesiones enteras crecientes con elementos de $1,\ldots,10^6$. Tal sucesión es Adriática si su primer elemento es igual a 1 y si cada elemento es al menos el doble del anterior. Una sucesión es Tirrena si su último elemento es igual a $10^6$ y si cada elemento es estrictamente mayor que la suma de todos los elementos anteriores. Decide si el número de sucesiones Adriáticas es menor, igual o mayor que el número de sucesiones Tirrenas. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

4 Dados los enteros positivos \(a,b,\) encuentra el menor entero positivo \(m\) tal que entre cualesquiera \(m\) enteros distintos en el intervalo \([-a,b]\) haya tres números distintos por pares cuya suma sea cero. Propuesto por Marian Tetiva, Rumania.

3 $Abdulqodir$ recortó $2024$ $n$-ágonos regulares congruentes de una hoja de papel y colocó estos $n$-ágonos sobre la mesa de modo que algunas partes de cada uno de estos $n$-ágonos puedan quedar cubiertas por otros. Decimos que un vértice de uno de los $n$-ágonos mencionados es $visible$ si no está en el interior de otro $n$-ágono que esté colocado encima de él. Para cualquier $n>2$, determina el número mínimo posible de vértices visibles. Propuesto por David Hrushka, Eslovaquia

5 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+} \) tales que para todos los enteros \( a, b, c \) se cumple $$ af(bc)+bf(ac)+cf(ab)=(a+b+c)f(ab+bc+ac). $$ Nota. El conjunto \( \mathbb{Z^+} \) se refiere al conjunto de los enteros positivos. Propuesto por Mojtaba Zare, Irán

8.8 Se recortan dos polígonos de cartón. ¿Es posible que, para cualquier disposición de estos polígonos en el plano, tengan o bien puntos interiores comunes o bien solo un número finito de puntos comunes en la frontera?

4 Sea $S$ el conjunto de todas las raíces de la unidad, y sea $A$ un subconjunto de $S$ . Para todo $x \in S$ , defina: $$R_A(x) = \left|\{(a, b) \mid a, b \in A, \frac{a}{b} = x\}\right|$$ Demuestre que para toda función $f: S \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$ , existe un subconjunto $A' \subseteq A$ tal que: $$\frac{1}{|A'|^2} \sum_{a, b \in A'} f\left(\frac{a}{b}\right) \le 2 \cdot \frac{\sum_{x \in S} R_A(x)^{2025} \cdot f(x)}{\sum_{x \in S} R_A(x)^{2025}}$$ y $$|A'| \ge \frac{1}{2} \cdot \frac{\sum_{x \in S} R_A(x)^{2025}}{|A|^{2025}}.$$ Propuesto por Lize Jin, Escuela Secundaria Xuejun de Hangzhou

3 Demuestra que para todo entero \(S\ge100\) existe un entero \(P\) para el cual la siguiente historia podría ser cierta: El matemático pregunta al dueño de la tienda: ``¿Cuánto cuestan la mesa, el armario y la estantería?'' El dueño responde: ``Cada artículo cuesta una cantidad entera positiva de euros. La mesa es más cara que el armario, y el armario es más caro que la estantería. La suma de los tres precios es \(S\) y su producto es \(P\).'' El matemático piensa y se queja: ``¡Esta información no es suficiente para determinar los tres precios!'' (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

4 En el triángulo $ABC$ sean $A'$ , $B'$ , $C'$ los puntos medios de los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Además, sean $L$ , $M$ , $N$ las proyecciones del ortocentro sobre los tres lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , y sea $k$ el círculo de los nueve puntos. Las rectas $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ cortan a $k$ en los puntos $D$ , $E$ , $F$ . Las tangentes a $k$ en $D$ , $E$ , $F$ cortan a las rectas $MN$ , $LN$ y $LM$ en los puntos $P$ , $Q$ , $R$ . Demuestra que $P$ , $Q$ y $R$ están alineados.