Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los números enteros. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, \[f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).\]

En el triángulo $ABC$, el punto $A_1$ está en el lado $BC$ y el punto $B_1$ está en el lado $AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sea $P_1$ un punto en la recta $PB_1$ distinto de $B_1$, con $B_1$ entre $P$ y $P_1$, y $\angle PP_1C = \angle BAC$. Análogamente, sea $Q_1$ un punto en la recta $QA_1$ distinto de $A_1$, con $A_1$ entre $Q$ y $Q_1$, y $\angle CQ_1Q = \angle CBA$. Demuestra que los puntos $P$, $Q$, $P_1$, y $Q_1$ son concíclicos.

Una red social tiene $2019$ usuarios, algunos de los cuales son amigos. Siempre que el usuario $A$ es amigo del usuario $B$, el usuario $B$ también es amigo del usuario $A$. Eventos del siguiente tipo pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez: Tres usuarios $A$ ,$B$ ,y $C$ tales que $A$ es amigo de $B$ y de $C$, pero $B$ y $C$ no son amigos, cambian su estado de amistad de modo que $B$ y $C$ ahora son amigos, pero $A$ ya no es amigo ni de $B$ ni de $C$. Las otras relaciones de amistad no cambian. Inicialmente, hay $1010$ usuarios que tienen $1009$ amigos cada uno, y hay $1009$ usuarios que tienen $1010$ amigos cada uno. Demuestra que hay una sucesión de este tipo de eventos después de la cual cada usuario es amigo como máximo de uno de los otros usuarios.

Encontrar todos los pares $(k, n)$ de enteros positivos tales que \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). \]

El Banco de Bath emite monedas con una $H$ en una cara y una $T$ en la otra. Harry tiene $n$ monedas de este tipo alineadas de izquierda a derecha. Él realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente $k \gt 0$ monedas con la $H$ hacia arriba, Harry voltea la $k$-ésima moneda contando desde la izquierda; en caso contrario, todas las monedas tienen la $T$ hacia arriba y él se detiene. Por ejemplo, si $n = 3$ y la configuración inicial es $THT$, el proceso sería $THT \to HHT \to HTT \to TTT$, que se detiene después de tres operaciones. (a) Demuestra que para cualquier configuración inicial que tenga Harry, el proceso se detiene después de un número finito de operaciones. (b) Para cada configuración inicial $C$, sea $L(C)$ el número de operaciones que se realizan hasta que Harry se detiene. Por ejemplo, $L(THT) = 3$ y $L(TTT) = 0$. Determinar el valor promedio de $L(C)$ sobre todas las $2n$ posibles configuraciones iniciales de $C$.

Halla todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2,\dots,a_n$ tales que \[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. La circunferencia inscrita (o incírculo) $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $EF$ corta a $\omega$ nuevamente en $R$. La recta $AR$ corta a $\omega$ nuevamente en $P$. Las circunferencias circunscritas (o circuncírculos) de los triángulos $PCE$ y $PBF$ se cortan nuevamente en $Q$. Demuestra que las rectas $DI$ y $PQ$ se cortan en la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $AI.$

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, y son tales que $AD = AE$. Las mediatrices de $BD$ y $CE$ cortan a los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que las rectas $DE$ y $FG$ son paralelas (o son la misma recta).

Hallar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existen números reales $a_1, a_2, \dots , a_{n+2}$, tales que $a_{n+1} =a_1$ y $a_{n+2} =a_2,$ y\n\[a_ia_{i+1} + 1 = a_{i+2}\]\npara $i = 1,2,\dots,n$.

Un "triángulo anti-Pascal" es una disposición de números en forma de triángulo equilátero de tal manera que cada número, excepto los de la última fila, es el valor absoluto de la diferencia de los dos números que están inmediatamente debajo de él. Determinar si existe un triángulo anti-Pascal con $2018$ filas que contenga todos los enteros desde $1$ hasta $1+2+\cdots+2018$.