13 Encuentra la esfera de radio máximo que puede colocarse dentro de todo tetraedro que tenga todas sus alturas de longitud mayor o igual que $1.$ Amir

14 Un soldado necesita verificar si hay minas en el interior o en los lados de un triángulo equilátero $ABC.$ Su detector puede detectar una mina a una distancia máxima igual a la mitad de la altura del triángulo. El soldado parte desde uno de los vértices del triángulo. ¿Cuál es la distancia mínima que necesita recorrer para que al final de ella esté seguro de haber completado con éxito su misión?

15 Demuestra que para todo $n \in \mathbb N$ se cumple lo siguiente: \[2^n \prod_{k=1}^n \sin \frac{k \pi}{2n+1} = \sqrt{2n+1}\] Amir

Dado $a, \theta \in \mathbb R, m \in \mathbb N$, y $P(x) = x^{2m}- 2|a|^mx^m \cos \theta +a^{2m}$, factoriza $P(x)$ como producto de $m$ polinomios cuadráticos reales.

17 $G$ es un conjunto de funciones no constantes $f$. Cada $f$ está definida en la recta real y tiene la forma $f(x)=ax+b$ para algunos reales $a,b$. Si $f$ y $g$ están en $G$, entonces también lo está $fg$, donde $fg$ se define por $fg(x)=f(g(x))$. Si $f$ está en $G$, entonces también lo está la inversa $f^{-1}$. Si $f(x)=ax+b$, entonces $f^{-1}(x)= \frac{x-b}{a}$. Cada $f$ en $G$ tiene un punto fijo (es decir, podemos encontrar $x_f$ tal que $f(x_f)=x_f$). Demuestra que todas las funciones en $G$ tienen un punto fijo común.

2 Demuestra que los cuadrados con lados $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots$ pueden colocarse dentro del cuadrado de lado $\frac{3}{2} $ de tal manera que no haya dos de ellos que tengan ningún punto interior en común. Amir

1 Arthur y Renate juegan un juego en un tablero de $7 \times 7$ . Arthur tiene dos fichas rojas, colocadas inicialmente en las celdas de la esquina inferior izquierda y de la esquina superior derecha. Renate tiene dos fichas negras, colocadas inicialmente en las celdas de la esquina inferior derecha y de la esquina superior izquierda. En un movimiento, un jugador puede elegir una de sus dos fichas y moverla a una celda adyacente horizontal o verticalmente. Los jugadores se turnan, comenzando Arthur. Arthur gana cuando ambas de sus fichas están en celdas adyacentes horizontal o verticalmente después de un cierto número de movimientos. ¿Puede Renate impedir que él gane?

2 ¿Puede un número de la forma $44\dots 41$ , con un número impar de dígitos decimales $4$ seguidos de un dígito $1$ , ser un cuadrado perfecto?

3 Sea $ABCD$ un paralelogramo cuyas diagonales se intersecan en $M$ . Suponga que la circunferencia circunscrita de $ABM$ interseca el segmento $AD$ en un punto $E \ne A$ y que la circunferencia circunscrita de $EMD$ interseca el segmento $BE$ en un punto $F \ne E$ . Demuestre que $\angle ACB=\angle DCF$ .

4 Para enteros positivos $p$ , $q$ y $r$ se nos dan $p \cdot q \cdot r$ cubos unitarios. Perforamos un agujero a lo largo de la diagonal espacial de cada uno de estos cubos y luego los ensartamos en un hilo muy delgado de longitud $p \cdot q \cdot r \cdot \sqrt{3}$ como un collar de perlas. Ahora queremos construir un cuboide de longitudes de lado $p$ , $q$ y $r$ a partir de los cubos, sin romper el hilo. a) ¿Para qué números $p$ , $q$ y $r$ es esto posible? b) ¿Para qué números $p$ , $q$ y $r$ es esto posible de modo que ambos extremos del hilo coincidan?