3 Sea \(D\) el punto medio del lado \(BC\) del triángulo \(ABC\) . Sean \(E, F\) puntos sobre los lados \(AB, AC\) respectivamente tales que \(DE = DF\) . Demuestre que \(AE + AF = BE + CF \iff \angle EDF = \angle BAC\) .

2 Una caminadora móvil de 100 pies de largo se mueve a una tasa constante de 6 pies por segundo. Al sube al inicio de la caminadora y se queda parado. Bob sube al inicio de la caminadora dos segundos después y camina hacia adelante sobre la caminadora a una tasa constante de 4 pies por segundo. Dos segundos después de eso, Cy llega al inicio de la caminadora y camina rápidamente hacia adelante junto a la caminadora a una tasa constante de 8 pies por segundo. En cierto momento, una de estas tres personas está exactamente a la mitad entre las otras dos. En ese momento, encuentra la distancia en pies entre el inicio de la caminadora y la persona del medio.

9 En el triángulo rectángulo \(ABC\) con ángulo recto en \(C\), \(CA=30\) y \(CB=16\). Sus catetos \(\overline{CA}\) y \(\overline{CB}\) se extienden más allá de \(A\) y \(B\). Los puntos \(O_{1}\) y \(O_{2}\) están en el exterior del triángulo y son los centros de dos círculos con radios iguales. El círculo con centro \(O_{1}\) es tangente a la hipotenusa y a la extensión del cateto \(CA\), el círculo con centro \(O_{2}\) es tangente a la hipotenusa y a la extensión del cateto \(CB\), y los círculos son tangentes externamente entre sí. La longitud del radio de cualquiera de los círculos se puede expresar como \(p/q\), donde \(p\) y \(q\) son enteros positivos relativamente primos. Encuentra \(p+q\).

2012 g5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo con lados opuestos no paralelos tal que $AC$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita de $ABCD$ . Las rectas $AB$ y $CD$ se encuentran en $S$ . Las rectas $BC$ y $DA$ se encuentran en $T$ . La bisectriz interna de $\angle BSC$ se encuentra con $BC$ y $DA$ en $F$ y $H$ , respectivamente. La bisectriz interna de $\angle CTD$ se encuentra con $CD$ y $AB$ en $G$ y $E$ , respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $\vartriangle BEF$ y $\vartriangle DGH$ son tangentes.

15 Un cuadrado de papel tiene lados de longitud $ 100$ . De cada esquina se corta una cuña de la siguiente manera: en cada esquina, los dos cortes de la cuña comienzan cada uno a distancia $ \sqrt {17}$ de la esquina, y se encuentran en la diagonal con un ángulo de $ 60^\circ$ (ver la figura de abajo). Luego el papel se dobla hacia arriba a lo largo de las líneas que unen los vértices de cortes adyacentes. Cuando los dos bordes de un corte se encuentran, se pegan con cinta. El resultado es una bandeja de papel cuyos lados no están en ángulo recto con la base. La altura de la bandeja, es decir, la distancia perpendicular entre el plano de la base y el plano formado por los bordes superiores, se puede escribir en la forma $ \sqrt [n]{m}$ , donde $ m$ y $ n$ son enteros positivos, $ m < 1000$ , y $ m$ no es divisible por la $ n$ -ésima potencia de ningún primo. Encuentra $ m + n$ . [asy]import math; unitsize(5mm); defaultpen(fontsize(9pt)+Helvetica()+linewidth(0.7)); pair O=(0,0); pair A=(0,sqrt(17)); pair B=(sqrt(17),0); pair C=shift(sqrt(17),0)*(sqrt(34)*dir(75)); pair D=(xpart(C),8); pair E=(8,ypart(C)); draw(O--(0,8)); draw(O--(8,0)); draw(O--C); draw(A--C--B); draw(D--C--E); label("$\sqrt{17}$",(0,2),W); label("$\sqrt{17}$",(2,0),S); label("cut",midpoint(A--C),NNW); label("cut",midpoint(B--C),ESE); label("fold",midpoint(C--D),W); label("fold",midpoint(C--E),S); label("$30^\circ$",shift(-0.6,-0.6)*C,WSW); label("$30^\circ$",shift(-1.2,-1.2)*C,SSE);[/asy]

2 Sea $D$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ trazada desde el vértice $A$ . Sean $E$ y $F$ los puntos simétricos de $D$ con respecto a las rectas $AB$ y $AC$ , respectivamente. Sean $R_1$ y $R_2$ los circunradios de los triángulos $BDE$ y $CDF$ , respectivamente, y sean $r_1$ y $r_2$ los inradios de los mismos triángulos. Demuestre que $|S_{ABD} - S_{ACD}| > |R_1r_1 - R_2r_2|$

6 Una cadena de paréntesis es cualquier palabra que se puede componer mediante las siguientes reglas. 1) () es una cadena de paréntesis. 2) Si $s$ es una cadena de paréntesis entonces $(s)$ es una cadena de paréntesis. 3) Si $s$ y t son cadenas de paréntesis entonces $st$ es una cadena de paréntesis. El midcódigo de una cadena de paréntesis es la tupla de números naturales que se obtiene hallando, para todos los pares de paréntesis de apertura y su correspondiente paréntesis de cierre, el número de caracteres que quedan a la izquierda de la posición media entre estos paréntesis, y escribiendo todos estos números en orden no decreciente. Por ejemplo, el midcódigo de $(())$ es $(2,2)$ y el midcódigo de ()() es $(1,3)$ . Demuestre que los midcódigos de dos cadenas de paréntesis distintas cualesquiera son distintos.

2012 g6 En el triángulo $\vartriangle ABC$ , sea $H$ el punto de intersección de las rectas perpendiculares a $BA$ y $CA$ que pasan por $C$ y $ B$ , respectivamente. El punto medio de $BC$ es $M$ . El pie de la perpendicular a $MH$ que pasa por $ A$ es $ P$ . Sea $Q$ el punto reflejo de $ P$ respecto al punto medio de $AH$ . La recta perpendicular a $CP$ que pasa por $Q$ se encuentra con $PA$ y $PC$ en $S$ y $T$ , respectivamente. Las rectas $BA$ y $PM$ se encuentran en $X$ . Las rectas $CP$ y $AH$ se encuentran en $Y$ . La circunferencia circunscrita de $\vartriangle CQT$ se encuentra nuevamente con $CS$ en $Z$ . Demuestre que $\angle AXY = \angle AZS$ .

1 En el panel de control de una central nuclear hay $n$ interruptores eléctricos ( $n > 0$ ) , todos en una fila. Cada interruptor tiene dos posiciones posibles: arriba y abajo. Los interruptores están conectados entre sí de tal manera que, siempre que un interruptor baja desde su posición superior, su vecino derecho (si existe) cambia automáticamente de posición. Al principio, todos los interruptores están abajo. El operador del panel primero cambia la posición del interruptor más a la izquierda una vez, luego la posición del segundo interruptor más a la izquierda dos veces, etc., hasta que finalmente cambia la posición del interruptor más a la derecha n veces. ¿Cuántos interruptores quedan arriba después de todas estas operaciones?

. En una ciudad, el $20\%$ de la población tiene bicicletas, y el $30\%$ tiene scooters. Se sabe que $\frac{1}{4}$ de todas las personas que tienen bicicleta también tienen scooter. ¿Qué porcentaje de la población de la ciudad no tiene ni scooter ni bicicleta? P2. Halle todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{aligned} ab^{2}+ab+1 &=0, \\ a^{2}b^{2}+a^{2}b+ab^{2}+ab+a+b+3 &=0. \end{aligned}\right.\] P3. Sasha tiene $n$ reyes de ajedrez. Resulta que no importa cómo Sasha intente colocar estos reyes en un tablero de $8\times8$ , siempre habrá dos reyes que ataquen la misma casilla. Determine el menor valor posible de $n$ . P4. Una pila consta de $2024$ cartas etiquetadas con los números $1^{2}, 2^{2}, \ldots, 2024^{2}$ (un número por carta). Alibek y Nursultan toman cartas de la pila alternadamente, comenzando Alibek. Después de que se toman todas las cartas, Alibek calcula la suma de los números de sus cartas. El objetivo de Alibek es que esta suma sea divisible por $4$ , mientras que el objetivo de Nursultan es impedirlo. ¿Puede Nursultan lograrlo? P5. En el triángulo $ABC$ , $\angle A=15^{\circ}$ y $\angle C=45^{\circ}$ . Sobre el rayo $CB$ , más allá del punto $B$ , se marca un punto $D$ tal que $DB=2BC$ . Determine la medida del ángulo $\angle ADC$ .