Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación \[f\left(x+f(x+y)\right)+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] Para todos los números reales $x$, $y$.

Sea $a_0 \lt a_1 \lt a_2 \lt \dots$ una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero $n \geq 1$ tal que\n\[a_n < \frac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}.\]

Sea $n\geq 2$ un entero. Consideremos un tablero de tamaño $n\times n$ formado por $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ fichas en este tablero se dice que es "pacífica" si en cada fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Halla el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ fichas, existe un cuadrado de tamaño $k\times k$ sin fichas en sus $k^2$ cuadrados unitarios.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. La perpendicular a $BD$ desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y son tales que H está dentro del triángulo $SCT$ y \[\angle CHS -\angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC -\angle DTC = 90^{\circ} .\] Demuestra que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$.

Una configuración de $4027$ puntos del plano, de los cuales $2013$ son rojos y $2014$ azules, y no hay tres de ellos que sean colineales, se llama colombiana. Trazando algunas rectas, el plano queda dividido en varias regiones. Una colección de rectas es buena para una configuración colombiana si se cumplen las dos siguientes condiciones: - ninguna recta pasa por ninguno de los puntos de la configuración; - ninguna región contiene puntos de ambos colores. Hallar el menor valor de $k$ tal que para cualquier configuración colombiana de $4027$ puntos hay una colección buena de $k$ rectas.

Los puntos $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ de modo que $\angle PAB = \angle BCA$ y $\angle CAQ = \angle ABC$. Los puntos $M$ y $N$ están en las rectas $AP$ y $AQ$, respectivamente, de modo que $P$ es el punto medio de $AM$, y $Q$ es el punto medio de $AN$. Demuestra que las rectas $BM$ y $CN$ se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos que sean paralelas ni tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general separa el plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; a estas las llamamos sus regiones finitas. Demuestra que para cada $n$ suficientemente grande, en cualquier conjunto de n rectas en posición general es posible colorear de azul al menos $\sqrt{n}$ de ellas de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga todos los lados de su frontera azules. Nota: A las soluciones que reemplacen $\sqrt{n}$ por $c\sqrt{n}$ se les otorgarán puntos dependiendo del valor de $c$.

Para cada entero positivo $n$, el Banco de Ciudad del Cabo produce monedas de valor $\frac{1}{n}$ . Dada una colección finita de tales monedas (no necesariamente de distintos valores) cuyo valor total no supera $99 + \frac 12$, demuestra que es posible separar esta colección en $100$ o menos montones, de modo que el valor total de cada montón sea como máximo $1$.

Demostrar que para cualquier par de enteros positivos $k$ y $n$, existen $k$ enteros positivos $m_1, m_2, \dots , m_k$ (no necesariamente distintos) tales que \[1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac1{m_1}\right)\cdots \left(1+\frac1{m_k}\right).\]

Halla todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que cumplen la siguiente igualdad: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] Para todos los enteros $a,$ $b,$ $c$ que satisfacen $a+b+c=0$.