Sea $f$ una función del conjunto de los números reales en si mismo que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todo par de números reales $x, y$. Demuestra que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$.

Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $\ell$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $\ell$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente. Demuestra que se puede elegir un punto $P$ de $S$ y una recta $\ell$ que pasa por $P$ tales que el remolino que resulta usa cada punto de $S$ como centro de rotación un número infinito de veces.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[f(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor \] para todos los números $x, y \in \mathbb{R}$. ($\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $z$.)

Sea $f$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Se supone que para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$, la diferencia $f (m) - f (n)$ es divisible por $f (m - n).$ Demuestra que para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m) \leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$.

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sea $E$ un punto del arco $BDC$, y $F$ un punto del segmento $BC$, tal que \[\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC.\] Sea $G$ el punto medio de $IF$. Demuestra que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Sea $\ell$ una recta tangente a $\Gamma$, y sean $\ell_a$, $\ell_b$ y $\ell_c$ las rectas que se obtienen al reflejar $\ell$ con respecto a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas $\ell_a$, $\ell_b$ y $\ell_c$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$.

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $P$ un punto en el interior del triángulo. Las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en los puntos $K$, $L$ y $M$, respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Si se tiene que $SC = SP$, demuestra que $MK = ML$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que \[\left(g(m)+n\right)\left(m+g(n)\right)\] Es un cuadrado perfecto para todo $m,n\in \mathbb{N}$.

Demuetra que no existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $$x^{2008}+2008!=21^y.$$

Sea $s_1,s_2,s_3,\ldots$ una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsecuencias \[s_{s_1},\, s_{s_2},\, s_{s_3},\, \ldots\qquad\text{y}\qquad s_{s_1+1},\, s_{s_2+1},\, s_{s_3+1},\, \ldots\] están ambas en progresión aritmética. Muestra que la secuencia $s_1,s_2,s_3,\ldots$ está en progresión aritmética.