Sea $n > 0$ un entero. Se dispone de una balanza de dos platillos y de $n$ pesas cuyos pesos son $2^0, 2^1, \dots , 2^{n-1}$. Debemos colocar cada una de las $n$ pesas en la balanza, una tras otra, de manera tal que el platillo de la derecha nunca sea más pesado que el platillo de la izquierda. En cada paso, elegimos una de las pesas que no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos ya sea en el platillo de la izquierda o en el platillo de la derecha, hasta que todas las pesas hayan sido colocadas. Determina el número de formas en las que esto se puede hacer.

Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $\ell$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $\ell$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente. Demuestra que se puede elegir un punto $P$ de $S$ y una recta $\ell$ que pasa por $P$ tales que el remolino que resulta usa cada punto de $S$ como centro de rotación un número infinito de veces.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[f(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor \] para todos los números $x, y \in \mathbb{R}$. ($\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $z$.)

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sea $E$ un punto del arco $BDC$, y $F$ un punto del segmento $BC$, tal que \[\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC.\] Sea $G$ el punto medio de $IF$. Demuestra que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.

Sea $f$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Se supone que para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$, la diferencia $f (m) - f (n)$ es divisible por $f (m - n).$ Demuestra que para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m) \leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Sea $\ell$ una recta tangente a $\Gamma$, y sean $\ell_a$, $\ell_b$ y $\ell_c$ las rectas que se obtienen al reflejar $\ell$ con respecto a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas $\ell_a$, $\ell_b$ y $\ell_c$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que \[\left(g(m)+n\right)\left(m+g(n)\right)\] Es un cuadrado perfecto para todo $m,n\in \mathbb{N}$.

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $P$ un punto en el interior del triángulo. Las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en los puntos $K$, $L$ y $M$, respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Si se tiene que $SC = SP$, demuestra que $MK = ML$.

Demuetra que no existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $$x^{2008}+2008!=21^y.$$

Sea $s_1,s_2,s_3,\ldots$ una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsecuencias \[s_{s_1},\, s_{s_2},\, s_{s_3},\, \ldots\qquad\text{y}\qquad s_{s_1+1},\, s_{s_2+1},\, s_{s_3+1},\, \ldots\] están ambas en progresión aritmética. Muestra que la secuencia $s_1,s_2,s_3,\ldots$ está en progresión aritmética.