Las expresiones $A=1\times2+3\times4+5\times6+\cdots+37\times38+39$ y $B=1+2\times3+4\times5+\cdots+36\times37+38\times39$ se obtienen escribiendo operadores de multiplicación y suma en un patrón alternado entre enteros sucesivos. Encuentra la diferencia positiva entre los enteros $A$ y $B$.

2 En una nueva escuela, el $40$ por ciento de los estudiantes son de primer año, el $30$ por ciento son de segundo año, el $20$ por ciento son de tercer año y el $10$ por ciento son de último año. Todos los de primer año deben tomar latín, y el $80$ por ciento de los de segundo año, el $50$ por ciento de los de tercer año y el $20$ por ciento de los de último año eligen tomar latín. La probabilidad de que un estudiante de latín elegido al azar sea de segundo año es $\frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

4 El punto \(B\) se encuentra en el segmento de recta \(\overline{AC}\) con \(AB=16\) y \(BC=4\). Los puntos \(D\) y \(E\) están en el mismo lado de la recta \(AC\) formando triángulos equiláteros \(\triangle ABD\) y \(\triangle BCE\). Sea \(M\) el punto medio de \(\overline{AE}\), y \(N\) el punto medio de \(\overline{CD}\). El área del triángulo \(\triangle BMN\) es \(x\). Encuentra \(x^2\).

5 En un cajón, Sandy tiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente. El lunes, Sandy elige dos calcetines individuales al azar de los 10 calcetines del cajón. El martes, Sandy elige 2 de los 8 calcetines restantes al azar, y el miércoles, dos de los 6 calcetines restantes al azar. La probabilidad de que el miércoles sea el primer día en que Sandy elige calcetines que coinciden es $\tfrac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

Los puntos $A,B,C,D$ y $E$ están igualmente espaciados en un arco menor de un círculo. Los puntos $E,F,G,H,I$ y $A$ están igualmente espaciados en un arco menor de un segundo círculo con centro $C$ como se muestra en la figura. El ángulo $\angle ABD$ excede a $\angle AHG$ por $12^\circ$. Encuentra la medida en grados del ángulo $\angle BAG$.

En el diagrama siguiente, $ABCD$ es un cuadrado. El punto $E$ es el punto medio de $\overline{AD}$. Los puntos $F$ y $G$ están sobre $\overline{CE}$, y $H$ y $J$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$, respectivamente, de modo que $FGHJ$ es un cuadrado. Los puntos $K$ y $L$ están sobre $\overline{GH}$, y $M$ y $N$ están sobre $\overline{AD}$ y $\overline{AB}$, respectivamente, de modo que $KLMN$ es un cuadrado. El área de $KLMN$ es 99. Encuentra el área de $FGHJ$. [asy] pair A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,L,M,N; B=(0,0); real m=7*sqrt(55)/5; J=(m,0); C=(7*m/2,0); A=(0,7*m/2); D=(7*m/2,7*m/2); E=(A+D)/2; H=(0,2m); N=(0,2m+3*sqrt(55)/2); G=foot(H,E,C); F=foot(J,E,C); draw(A--B--C--D--cycle); draw(C--E); draw(G--H--J--F); pair X=foot(N,E,C); M=extension(N,X,A,D); K=foot(N,H,G); L=foot(M,H,G); draw(K--N--M--L); label("$A$",A,NW); label("$B$",B,SW); label("$C$",C,SE); label("$D$",D,NE); label("$E$",E,dir(90)); label("$F$",F,NE); label("$G$",G,NE); label("$H$",H,W); label("$J$",J,S); label("$K$",K,SE); label("$L$",L,SE); label("$M$",M,dir(90)); label("$N$",N,dir(180)); [/asy]

3 Se da un triángulo $ABC$ . En las prolongaciones del lado $AB$ consideramos los puntos $A_1,B_1$ tales que $AB_1=BA_1$ (con $A_1$ situado más cerca de $B$ ) .En las prolongaciones del lado $BC$ consideramos los puntos $B_4,C_4$ tales que $CB_4=BC_4$ (con $B_4$ situado más cerca de $C$ ) .En las prolongaciones del lado $AC$ consideramos los puntos $C_1,A_4$ tales que $AC_1=CA_4$ (con $C_1$ situado más cerca de $A$ ) .En el segmento $A_1A_4$ consideramos los puntos $A_2,A_3$ tales que $A_1A_2=A_3A_4=mA_1A_4$ donde $0<m<\frac{1}{2}$ . Los puntos $B_2,B_3$ y $C_2,C_3$ se definen de manera similar, en los segmentos $B_1B_4,C_1C_4$ respectivamente.Si $D\equiv BB_2\cap CC_2 \ , \ E\equiv AA_3\cap CC_2 \ , \ F\equiv AA_3\cap BB_3$ , $\ G\equiv BB_3\cap CC_3 \ , \ H\equiv AA_2\cap CC_3$ y $I\equiv AA_2\cap BB_2$ , demuestre que las diagonales $DG,EH,FI$ del hexágono $DEFGHI$ son concurrentes. Diagrama [asy]import graph; size(12cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -7.984603447540051, xmax = 21.28710511372557, ymin = -6.555010307713199, ymax = 10.006614273002825; /* image dimensions */ pen aqaqaq = rgb(0.6274509803921569,0.6274509803921569,0.6274509803921569); pen uququq = rgb(0.25098039215686274,0.25098039215686274,0.25098039215686274); draw((1.1583842866003107,4.638449718549554)--(0.,0.)--(7.,0.)--cycle, aqaqaq); /* draw figures */ draw((1.1583842866003107,4.638449718549554)--(0.,0.), uququq); draw((0.,0.)--(7.,0.), uququq); draw((7.,0.)--(1.1583842866003107,4.638449718549554), uququq); draw((1.1583842866003107,4.638449718549554)--(1.623345080409327,6.500264738079558)); draw((0.,0.)--(-0.46496079380901606,-1.8618150195300045)); draw((-3.0803965232149757,0.)--(0.,0.)); draw((7.,0.)--(10.080396523214976,0.)); draw((1.1583842866003107,4.638449718549554)--(0.007284204967787214,5.552463941947242)); draw((7.,0.)--(8.151100081632526,-0.9140142233976905)); draw((-0.46496079380901606,-1.8618150195300045)--(8.151100081632526,-0.9140142233976905)); draw((-3.0803965232149757,0.)--(0.007284204967787214,5.552463941947242)); draw((10.080396523214976,0.)--(1.623345080409327,6.500264738079558)); draw((0.,0.)--(3.7376079411107392,4.8751985535596685)); draw((-0.7646359770779035,4.164347956460432)--(7.,0.)); draw((1.1583842866003107,4.638449718549554)--(5.997084862772141,-1.150964422430769)); draw((0.,0.)--(7.966133662513563,1.6250661845198895)); draw((-2.308476341169285,1.3881159854868106)--(7.,0.)); draw((1.1583842866003107,4.638449718549554)--(1.6890544250513695,-1.624864820496926)); draw((2.0395968109217,2.660375186246903)--(2.9561195753832448,0.6030390855677443), linetype("2 2")); draw((3.4388364046369224,1.909931693481981)--(1.4816619768719694,0.8229159040072803), linetype("2 2")); draw((1.3969966570225139,1.8221911417546572)--(4.301698851378541,0.8775330211014288), linetype("2 2")); /* dots and labels */ dot((1.1583842866003107,4.638449718549554),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A$", (0.6263408942608304,4.2), NE * labelscalefactor); dot((0.,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B$", (-0.44658827292841696,0.04763072114368767), NE * labelscalefactor); dot((7.,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C$", (7.008893888822507,0.18518574257820614), NE * labelscalefactor); dot((1.623345080409327,6.500264738079558),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B_1$", (1.7267810657369815,6.6777827542874775), NE * labelscalefactor); dot((-0.46496079380901606,-1.8618150195300045),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A_1$", (-1.1068523758141076,-1.6305405403574376), NE * labelscalefactor); dot((10.080396523214976,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B_4$", (10.062615364668826,-0.612633381742001), NE * labelscalefactor); dot((-3.0803965232149757,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C_4$", (-3.3077327187664096,-0.612633381742001), NE * labelscalefactor); dot((0.007284204967787214,5.552463941947242),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C_1$", (0.1036318128096586,5.714897604245849), NE * labelscalefactor); dot((8.151100081632526,-0.9140142233976905),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A_4$", (8.521999124602214,-1.1903644717669786), NE * labelscalefactor); dot((-2.308476341169285,1.3881159854868106),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C_3$", (-2.9776006673235647,1.7808239912186203), NE * labelscalefactor); dot((-0.7646359770779035,4.164347956460432),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C_2$", (-1.1618743843879151,4.504413415622086), NE * labelscalefactor); dot((1.6890544250513695,-1.624864820496926),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A_2$", (1.6167370485893664,-2.125738617521704), NE * labelscalefactor); dot((5.997084862772141,-1.150964422430769),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A_3$", (6.211074764502297,-1.603029536070534), NE * labelscalefactor); dot((7.966133662513563,1.6250661845198895),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B_3$", (8.081823056011753,1.7808239912186203), NE * labelscalefactor); dot((3.7376079411107392,4.8751985535596685),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B_2$", (3.8451283958285725,5.027122497073257), NE * labelscalefactor); dot((2.0395968109217,2.660375186246903),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$D$", (1.7542920700238853,2.991308179842383), NE * labelscalefactor); dot((3.4388364046369224,1.909931693481981),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$E$", (3.542507348672631,2.083445038374561), NE * labelscalefactor); dot((4.301698851378541,0.8775330211014288),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$F$", (4.22,0.93), NE * labelscalefactor); dot((2.9561195753832448,0.6030390855677443),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$G$", (2.909754250073844,0.10265272971749505), NE * labelscalefactor); dot((1.4816619768719694,0.8229159040072803),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$H$", (0.9839839499905795,0.43278478116033936), NE * labelscalefactor); dot((1.3969966570225139,1.8221911417546572),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$I$", (0.9839839499905795,1.8908680083662353), NE * labelscalefactor); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */[/asy]

8 Sean $a$ y $b$ enteros positivos que cumplen $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$ . El valor máximo posible de $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$ es $\frac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $p+q$ .

Un barril cilíndrico con radio de $4$ pies y altura de $10$ pies está lleno de agua. Un cubo sólido con lado de $8$ pies se introduce en el barril de modo que la diagonal del cubo quede vertical. El volumen de agua desplazada es $v$ pies cúbicos. Encuentra $v^2$ . [asy] import three; import solids; size(5cm); currentprojection=orthographic(1,-1/6,1/6); draw(surface(revolution((0,0,0),(-2,-2*sqrt(3),0)--(-2,-2*sqrt(3),-10),Z,0,360)),white,nolight); triple A =(8*sqrt(6)/3,0,8*sqrt(3)/3), B = (-4*sqrt(6)/3,4*sqrt(2),8*sqrt(3)/3), C = (-4*sqrt(6)/3,-4*sqrt(2),8*sqrt(3)/3), X = (0,0,-2*sqrt(2)); draw(X--X+A--X+A+B--X+A+B+C); draw(X--X+B--X+A+B); draw(X--X+C--X+A+C--X+A+B+C); draw(X+A--X+A+C); draw(X+C--X+C+B--X+A+B+C,linetype("2 4")); draw(X+B--X+C+B,linetype("2 4")); draw(surface(revolution((0,0,0),(-2,-2*sqrt(3),0)--(-2,-2*sqrt(3),-10),Z,0,240)),white,nolight); draw((-2,-2*sqrt(3),0)..(4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0)); draw((-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),0)--(-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),-10)..(4,0,-10)..(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),-10)--(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),0)); draw((-2,-2*sqrt(3),0)..(-4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0),linetype("2 4")); [/asy]

15 Un bloque de madera tiene la forma de un cilindro circular recto con radio $6$ y altura $8$, y toda su superficie ha sido pintada de azul. Los puntos $A$ y $B$ se eligen en el borde de una de las caras circulares del cilindro de modo que $\overarc{AB}$ en esa cara mide $120^\circ$. Luego, el bloque se corta por la mitad a lo largo del plano que pasa por el punto $A$, el punto $B$ y el centro del cilindro, revelando una cara plana sin pintar en cada mitad. El área de una de esas caras sin pintar es $a\cdot\pi + b\sqrt{c}$, donde $a$, $b$ y $c$ son enteros y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $a+b+c$.