3 Sean \( a \) y \( b \) enteros positivos, \( p \) un primo impar, \( p > a > b > 1 \) . Halle el mayor entero \( c \) tal que para todos los \( a, b, p \) que satisfacen las condiciones anteriores, se tiene \[p^c \mid \left( \binom{ap}{bp} - \binom{a}{b} \right).\] Aquí, denotamos \[\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}.\]

2 En el triángulo \( ABC \) , \( AB = AC \) . Sea \( D \) el pie de la perpendicular desde \( C \) a \( AB \) , y sea \( M \) el punto medio de \( CD \) . Sea \( E \) el pie de la perpendicular desde \( A \) a la recta \( BM \) , y sea \( F \) el pie de la perpendicular desde \( A \) a la recta \( CE \) . Demuestre que \( AF \leq \frac{AB}{3} \) , y determine la condición para la igualdad.

3 Sea $A$ un conjunto finito de enteros positivos. Demuestre que existe un conjunto finito $B$ de enteros positivos tal que $A \subseteq B$ y \[\prod_{x\in B} x = \sum_{x\in B} x^2.\]

1 Para conjuntos no vacíos \( A \) y \( B \) compuestos de números reales, defina el conjunto \( A * B \) como todos los números que pueden expresarse como \( a + b \) donde \( a \in A \) , \( b \in B \) , es decir, \( A * B = \{ x \mid x = a + b, a \in A, b \in B \} \) . (Nota: Si \( A = \emptyset \) o \( B = \emptyset \) , entonces \( A * B = \emptyset \) . ) Dados enteros positivos \( k \) y \( l \) , para todos los conjuntos de números reales \( A \) y \( B \) que satisfacen \( |A| = k \) y \( |B| = l \) , halle el valor mínimo de \( |A * B| \) , y determine todos los \( A \) y \( B \) que alcanzan este mínimo.

2 Sea \( A \) un conjunto no vacío compuesto de números reales, y sea \( h \) un entero positivo. Defina el conjunto \( S_h(A) \) como todos los números que pueden expresarse como \( a_1 + a_2 + \cdots + a_h \) donde \( a_1, a_2, \ldots, a_h \in A \) (estos números pueden ser iguales), es decir, \( S_h(A) = \{ x \mid x = a_1 + a_2 + \cdots + a_h, a_1, a_2, \ldots, a_h \in A \} \) . Dados enteros positivos \( h \) y \( k \) , para todos los conjuntos de números reales \( A \) que satisfacen \( |A| = k \) , halle el valor mínimo de \( |S_h(A)| \) , y determine todos los \( A \) que alcanzan este mínimo.

3 Sea \( A \) un conjunto no vacío compuesto de enteros, y sea \( h \) un entero positivo. Defina el conjunto \( T_h(A) \) como todos los números que pueden expresarse como \( a_1 + a_2 + \cdots + a_h \) donde \( a_1, a_2, \ldots, a_h \in A \) y estos elementos son distintos, es decir, \( T_h(A) = \{ x \mid x = a_1 + a_2 + \cdots + a_h, \text{distinct } a_1, a_2, \ldots, a_h \in A \} \) . Dados enteros positivos \( h \) y \( k \) con \( 2 \leq h \leq k - 2 \) y \( k \geq 5 \) , para todos los conjuntos de enteros \( A \) que satisfacen \( |A| = k \) , halle el valor mínimo de \( |T_h(A)| \) .

1 Sea \( n \) un entero mayor que 1, y defina \(\xi_k = \cos \frac{2k\pi}{n} + i\sin \frac{2k\pi}{n}\) para \(k=0,1,\cdots,n-1\) . Halle la expresión más simple de \(\prod_{1\leq j<k\leq n-1}(\xi_j - \xi_k)^2\) .

2 Sobre el intervalo \([0,1]\) de la recta numérica, hay seis partículas etiquetadas \(P_1, P_2, \cdots, P_6\) en orden de 0 a 1. Inicialmente, todas las partículas están dentro del intervalo; las distancias entre partículas adyacentes \(P_1\) y \(P_2\) , \(P_2\) y \(P_3\) , \(P_3\) y \(P_4\) , \(P_4\) y \(P_5\) , \(P_5\) y \(P_6\) son \(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon\) , respectivamente. Todas las partículas se mueven a la misma velocidad constante hacia el punto 0. Durante el movimiento, si una partícula golpea el extremo 0 o 1, inmediatamente invierte su dirección con la misma velocidad. Si dos partículas chocan de frente, inmediatamente invierten su dirección con la misma velocidad. Sea \(f_{i,j}(n)\) la coordenada de posición de la \(n\) - ésima colisión entre la \(i\) - ésima y la \(j\) - ésima partícula. Halle todos los posibles \(f_{i,j}(n)\) .

3 Dados enteros positivos \(r\) , \(s\) , \(t\) que satisfacen \(1 < r < s < t\) , considere una \(n\) - tupla de números reales positivos \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) tal que \[ \frac{x_j}{x_{j+1}} \leq 1 + \frac{t-s}{j+s} \quad (j=1,2,\cdots,n-1). \] Para todas las \(n\) - tuplas de este tipo, halle el valor mínimo de \[\frac{ \sum_{k=1}^{n} k(k+1) \cdots (k+t-1)x_k} {\sum_{k=1}^{n} (k+r)(k+r+1) \cdots (k+t-1)x_k}. \]

1 Se sabe que las ecuaciones diofánticas \(x^4 + y^4 = z^2\) y \(x^4 - y^4 = z^2\) no tienen soluciones enteras con \(xyz \neq 0\) . Con base en esto, halle todas las soluciones enteras de la ecuación \(8y^4 + 1 = z^2\) (proporcione una demostración concisa). Luego, resuelva el problema principal: halle todas las soluciones enteras del sistema de ecuaciones \[ \begin{cases} 1+x=8y^2 \\ 1+x^2=2z^2 \end{cases} \]