Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Muestra que si $4ab-1$ divide a $(4a^{2} - 1)^{2}$, entonces $a=b$.

Encuentra todas las parejas de enteros $(x,y)$ tales que \[1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.\]

Encuentra el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})| \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\] es cierta para todos los números reales $a$, $b$ y $c$.

A cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ se le asigna el área máxima de un triángulo con lado $b$ contenido en $P$. Muestra que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n>1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Considera el polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots ))$, donde $P$ se itera $k$ veces. Muestra que hay a lo más $n$ enteros $t$ tales que $Q(t)=t$.

Sea $a_1,a_2,\ldots,a_n$ una secuencia de enteros con infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. Supón que para cada entero positivo $n$, los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tienen $n$ residuos distindos al dividirse entre $n$. Muestra que cada entero está exactamente una vez en la secuencia $a_1,a_2,\ldots,a_n$.

Seis puntos se eligen en los lados de un triángulo equilátero $ABC$: $A_1$, $A_2$ en $BC$, $B_1$, $B_2$ en $CA$ y $C_1$, $C_2$ en $AB$, tales que son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ con lados de longitudes iguales. Muestra que las líneas $A_1B_2$, $B_1C_2$ y $C_1A_2$ concurren en un mismo punto.

Encuentra todos los enteros positivos que son primos relativos con todos los términos de la secuencia infinita \[ a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. \]

Sean $x$, $y$, $z$ números reales positivos tales que $xyz\geq 1$. Muestra que\n\[ \frac { x^5-x^2 }{x^5+y^2+z^2} + \frac {y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac {z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0 . \]

Encuentra todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para cualesquiera reales $a$, $b$, $c$, con $ab+bc+ca=0$, se cumple que \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \]