11.7 Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ existen enteros positivos $a,b,c$ distintos dos a dos y distintos de $n$, tales que $ab+n, ac+n, bc+n$ son todos cuadrados perfectos.

11.8 Una sandía (una esfera) de radio $R$ está sobre una mesa. $n$ moscas vuelan sobre la mesa, cada una a distancia $\sqrt{2}R$ del centro de la sandía. En cierto momento ninguna mosca podía ver a ninguna de las otras moscas. (Las moscas no pueden verse entre sí si el segmento que las une interseca o toca la sandía). Halle el máximo valor posible de $n$

11.1 Un tablero cuadriculado $20 \times 20$ se corta en varios cuadrados de lado entero. El tamaño de un cuadrado es su lado. ¿Cuál es la cantidad máxima de tamaños diferentes que pueden tener estos cuadrados?

11.2 Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ con la propiedad $\angle ABC - \angle BAC=30^{\circ}$. La recta $CI$ interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $C_1$. Resultó que $C_1$ está sobre una recta tangente común de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $BCI$. Halle los ángulos del triángulo $ABC$.

11.3 Cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ están sobre la hipérbola $y=\frac{1}{x}$. En el triángulo $BCD$, el punto $A_1$ es el circuncentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $BCD$. En los triángulos $ACD$, $ABD$ y $ABC$, los puntos $B_1$, $C_1$ y $D_1$ se eligen de manera análoga. Resultó que los puntos $A_1$, $B_1$, $C_1$ y $D_1$ son distintos dos a dos y concíclicos. Demuestre que el centro de esa circunferencia coincide con el punto $(0,0)$.

11.4 Halle todas las ternas $(a,b,k)$, con $k \geq 2$, de enteros positivos tales que $(a^k+b)(b^k+a)$ sea una potencia de dos.

2 Sea $n\in \mathbb {N_+}$ . Coloree las casillas de un cuadrado de $2n\times 2n$ como un tablero de ajedrez. Elija cualesquiera $n^2$ casillas negras. Demuestre que el número de cuadrados de $2\times 2$ que contienen exactamente una casilla negra elegida es al menos $2n-1$ . Propuesto por Tianyou Ma, estudiante de la Escuela Secundaria Afiliada a la Universidad Popular de China

4 Dada una función $f:\mathbb{N}\to \mathbb {N}$ con las siguientes propiedades: 1) $f(0)=f(1)=0$ ; 2) $f(p)=1$ para todo primo $p$ ; 3) $f(mn) = mf(n)+nf(m)$ para cualesquiera $m,n\in\mathbb{N}$ . Halle todos los enteros positivos impares $n$ con $nf(f(f(n))) = f(n)f(f(n))$ . Propuesto por Longhui Yin, estudiante de grado en la Universidad de Tsinghua

4 $f:N_+\rightarrow R_{\ge0}$ , tal que $f(1)=1$ y para todo entero positivo n, $f(n)=\sum_{p\ is\ a\ prime} f(np)$ . Demuestre: para todo entero positivo n, $f(n^2)\ge f(n)^2$ .

4 Sea \( f: \mathbb{N}_+ \to \mathbb{R}_{\geq 0} \) una función que satisface \( f(1) = 1 \) , y para todo entero positivo \( n \) , tenemos \[f(n) = \sum_{p \text{ prime}} f(np)\] . Demuestre que para todo entero positivo \( n \) , \( f(n^2) \geq f(n)^2 \) .