Sea $n\geq 3$ un entero. Sean $t_1$, $t_2$, ..., $t_n$ reales positivos tales que \[n^2 + 1 \gt \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\] \nMuestra que $t_i$, $t_j$, $t_k$ pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo para toda $i$, $j$, $k$ tales que $1 \leq i \lt j \lt k \leq n$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $BC=DA$ y $BC$ no es paralela a $DA$. Sean $E$ y $F$ dos puntos que varían sobre los lados $BC$ y $DA$, respectivamente, tales que $BE=DF$. Las líneas $AC$ y $BD$ se encuentran en $P$, las líneas $BD$ y $EF$ se encuentran en $Q$, y las líneas $EF$ y $AC$ se encuentran en $R$. Muestra que los circuncírculos de los triángulos $PQR$ tienen un punto común distinto a $P$ sin importar la elección de $E$ y $F$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. El círculo con diámetro $BC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sea $O$ el punto medio del lado $BC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se intersecan en $R$. Muestra que los ciruncírculos de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto en común sobre el lado $BC$.

Definimos un "gancho" como una figura de 6 cuadritos unitarios como la que está en la imagen, o cualquier figura obtenida por la imagen aplicando rotaciones y reflexiones. Encuentra todos los rectángulos de $m\times n$ que pueden ser cubiertos completamente sin hoyos ni sobrelaparse con ganchos.

En una competncia matemática con $6$ problemas, cualesquiera dos problemas fueron resueltos por más de $\frac 25$ participantes. Además, ningún participante resolvió los $6$ problemas. Muestra que hay al menos dos participantes que resolvieron exactamente $5$ problemas cada uno.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que la diagonal $BD$ no bisecta al ángulo $ABC$ ni al ángulo $CDA$. El punto $P$ está dentro de $ABCD$ y cumple \[\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad \angle PDC=\angle BDA.\] Muestra que $ABCD$ es cíclico si y sólo si $AP=CP$.

Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$. Muestra que existen números $t_1$, $t_2, \ldots, t_{100}$ en $S$ tales que cualesquiera dos conjuntos de la forma \[ A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \] no comparten elementos.

Decimos que un entero positivo es "alternativo" si cualesquiera dos dígitos consecutivos en su representación decimal tienen paridad distinta. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ tiene un múltiplo alternativo.

Cada pareja de lados opuestos de un hexágono convexo tiene la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de las longitudes de dichos lados. Muestra que todos los ángulos del hexágono son iguales.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[ \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \] es un entero positivo.