Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, y $P$, $Q$, $R$, $S$ los pies de perpendicular de $D$ a las líneas $BC$, $CA$, y $AB$, respectivamente. Muestra que $PQ=QR$ si y sólo si las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se intersecan sobre $AC$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \] para toda $x$, $y$, $z$, $t\in \mathbb{R}$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 60 ^\circ$. Sea $AP$ la bisectriz de $\angle BAC$ y $BQ$ la bisectriz de $\angle ABC$, con $P$ sobre $BC$ y $Q$ sobre $AC$. Si $AB+BP=AQ+BQ$, encuentra los ángulos de $ABC$.

Sea $p$ un número primo. Muestra que existe un primo $q$ tal que para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es múltiplo de $q$.

Sea $\Gamma$ un círculo con centro $O$ y diámetro $BC$. Sea $A$ un punto sobre $\Gamma$ tal que $\angle AOB\lt120^\circ$. Sea $D$ el punto medio de el arco $AB$ que no contiene a $C$. La línea paralela a $AD$ que pasa por $O$ corta a $AC$ en $I$. La mediatriz de $AO$ corta a $\Gamma$ en $E$ y $F$. Muestra que $I$ es el incentro del triángulo $CEF$.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $m,n\geq3$ tales que existen infinitos enteros positivos $a$ tales que \[ \frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} \] es un entero.

Sea $n$ un entero positivo y $x_1\le x_2\le\cdots\le x_n$ números reales. \nMuestra que la siguiente desigualdad se cumple:\n\[ \left(\sum_{i,j=1}^{n}|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i,j=1}^{n}(x_i-x_j)^2. \]\nMuestra que la igualdad se logra si y sólo si los números $x_1, \ldots, x_n$ están en progresión aritmética.

Sea $n$ un entero positivo. Sean $x,y$ enteros no negativos tales que $x+y\lt n$. Cada punto $(x,y)$ en el plano se colorea de rojo o azul, a partir de la siguiente condición: Si un punto $(x,y)$ es rojo, entonces todos los puntos $(x',y')$ con $x'\leq x$ y $y'\leq y$ también lo son. Sea $A$ el número de maneras de elegir $n$ puntos azules con coordenadas $x$ distintas, y sea $B$ el número de maneras distintas de elegir $n$ puntos rojos con coordenadas $y$ distintas. Muestra que $A=B$.

Muestra que para cualesquiera reales positivos $a$, $b$, $c$, se cumple que\n\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$, y $P$ el pie de altura de $A$ a $BC$. Si $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$, muestra que $\angle A+\angle COP \lt 90^{\circ}$.