1 Un avión quiere ir desde un punto del ecuador y, en cada momento, se dirigirá hacia el noreste con velocidad $v$ . Suponga que el radio de la Tierra es $R$ . a) ¿Llegará el avión al polo norte? Si es así, ¿cuánto tiempo tardará en llegar al polo norte? b) ¿Girará el avión un número finito de veces alrededor del polo norte? Si es así, ¿cuántas veces? Omid

2 Definimos una relación entre subconjuntos de $\mathbb R ^n$ . $A \sim B\Longleftrightarrow$ podemos particionar $A,B$ en conjuntos $A_1,\dots,A_n$ y $B_1,\dots,B_n$ (es decir, $\displaystyle A=\bigcup_{i=1} ^n A_i,\ B=\bigcup_{i=1} ^n B_i, A_i\cap A_j=\emptyset,\ B_i\cap B_j=\emptyset$ ) y $A_i\simeq B_i$ . Diga si los siguientes conjuntos tienen la relación $\sim$ o no: a) Los números naturales y los números compuestos. b) Los números racionales y los números racionales con finitos dígitos en base 10. c) $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 2\}$ y $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 3\}$ d) $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2|x^2+y^2<1\}$ y $A\setminus \{(0,0)\}$ Omid

3 Para cada $m\in \mathbb N$ definimos $rad\ (m)=\prod p_i$ , donde $m=\prod p_i^{\alpha_i}$ . Conjetura abc: suponga que $\epsilon >0$ es un número arbitrario; entonces existe $K$ que depende de $\epsilon$ tal que para cualesquiera 3 números $a,b,c\in\mathbb Z$ con $gcd (a,b)=1$ y $a+b=c$ se tiene: \[ max\{|a|,|b|,|c|\}\leq K(rad\ (abc))^{1+\epsilon} \] Ahora demuestre cada una de las siguientes afirmaciones usando la conjetura $abc$ : a) El último teorema de Fermat para $n>N$ , donde $N$ es algún número natural. b) Llamamos a $n=\prod p_i^{\alpha_i}$ fuerte si y solo si $\alpha_i\geq 2$ . c) Demuestre que hay finitamente muchos $n$ tales que $n,\ n+1,\ n+2$ son fuertes. d) Demuestre que hay finitamente muchos números racionales $\frac pq$ tales que: \[ \Big| \sqrt[3]{2}-\frac pq \Big|<\frac{2^ {1384}}{q^3} \] Omid

4 Suponga que tenemos algunas proteínas, y que cada proteína es una secuencia de 7 "AMINO-ACIDS" $A,\ B,\ C,\ H,\ F,\ N$ . Por ejemplo, $AFHNNNHAFFC$ es una proteína. Hay algunos pasos en los que, en cada paso, un aminoácido cambiará a otro. Por ejemplo, con el paso $NA\rightarrow N$ la proteína $BANANA$ cambiará a $BANNA$ ( "en persa significa obrero"). Tenemos un conjunto de pasos permitidos con los cuales cada proteína puede cambiar. Por ejemplo, con el conjunto de pasos: $\\ 1)\ AA\longrightarrow A\\ 2)\ AB\longrightarrow BA\\ 3)\ A\longrightarrow \mbox{null}$ La proteína $ABBAABA$ cambiará así: $\\ ABB\underline{AA}BA\\ \underline{AB}BABA\\ B\underline{AB}ABA\\ BB\underline{AA}BA\\ BB\underline{AB}A\\ BBB\underline{AA}\\ BBB\underline{A}\\ BBB$ Se ve que después de un número finito de pasos esta proteína terminará sus pasos. Un conjunto de pasos permitidos para el cual existe una proteína que puede tener infinitamente muchos pasos es peligroso. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos permitidos son peligrosos? a) $NO\longrightarrow OONN$ b) $\left\{\begin{array}{c}HHCC\longrightarrow HCCH\\ CC\longrightarrow CH\end{array}\right.$ c) Diseñe un conjunto de pasos permitidos que cambie $\underbrace{AA\dots A}_{n}\longrightarrow\underbrace{BB\dots B}_{2^{n}}$ d) Diseñe un conjunto de pasos permitidos que cambie $\underbrace{A\dots A}_{n}\underbrace{B\dots B}_{m}\longrightarrow\underbrace{CC\dots C}_{mn}$ Se ve de $c$ y $d$ que podemos calcular las funciones $F(n)=2^{n}$ y $G(M,N)=mn$ con estos pasos. Encuentre otras funciones calculables con estos pasos. (Tiene una calificación adicional.) Omid

1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb Q\longrightarrow\mathbb Q$ tales que: $ f(x)+f(\frac1x)=1$ $ 2f(f(x))=f(2x)$ Omid

2 ¿Existe una sucesión $ \{b_{i}\}_{i=1}^\infty$ de números reales positivos tal que para cada $ m$ natural: \[ b_{m}+b_{2m}+b_{3m}+\dots=\frac1m\] Omid

1 ¿Existe un número natural $N$ que sea una potencia de $2$ , tal que se puedan permutar sus dígitos decimales para obtener una potencia de $2$ diferente? Amir.S

3 Sea $n(r)$ el número máximo posible de puntos de coordenadas enteras sobre un círculo de radio $r$ en el plano cartesiano. Demuestre que $n(r) < 6\sqrt[3]{3 \pi r^2}.$ Amir

2 Diremos que dos circunferencias en el espacio tridimensional son tangentes entre sí en un punto $ P$ si ambas pasan por $ P$ y las rectas tangentes a cada circunferencia en $ P$ coinciden. Tres circunferencias, no todas contenidas en un plano, son tangentes entre sí por pares en tres puntos distintos. Demuestre que existe una esfera que pasa por las tres circunferencias. sam-n

3 En una baraja de $n > 1$ cartas, en cada carta están escritos algunos dígitos del $1$ al $8$ . Un dígito puede aparecer más de una vez, pero a lo sumo una vez en una carta determinada. En cada carta está escrito al menos un dígito, y no hay dos cartas denotadas por el mismo conjunto de dígitos. Suponga que para cada $k=1,2,\dots,7$ dígitos, el número de cartas que contienen al menos uno de ellos es par. Halle $n$ . Amir.S