1 El triángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\omega$ . La circunferencia $\gamma$ es tangente a $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Además la circunferencia $\gamma$ es tangente a la circunferencia $\omega$ en el punto $S$ . Sea la intersección de $AS$ y $PQ$ el punto $T$ . Demuestre que $\angle{BTP}=\angle{CTQ}$ .

2 Determine si $\sqrt{1001^2+1}+\sqrt{1002^2+1}+ \cdots + \sqrt{2000^2+1}$ es un número racional o no.

1 Halle todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que la desigualdad: \[ [ (m+n) \alpha ] + [ (m+n) \beta ] \geq [ m \alpha ] + [n \beta] + [ n(\alpha+\beta)] \] sea verdadera para cualesquiera números reales $\alpha$ y $\beta$ . Aquí $[x]$ denota el mayor entero no mayor que el número real $x$ .

1 Demuestre que para cualesquiera $n$ ( $n \geq 2$ ) fracciones distintas dos a dos en el intervalo $(0,1)$ , la suma de sus denominadores no es menor que $\frac{1}{3} n^{\frac{3}{2}}$ .

3 Llamamos a una matriz $\textsl{binary matrix}$ si todas sus entradas son iguales a $0$ o $1$ . Una matriz binaria es $\textsl{Good}$ si satisface simultáneamente las siguientes dos condiciones: (1) Todas las entradas por encima de la diagonal principal (de izquierda a derecha), sin incluir la diagonal principal, son iguales. (2) Todas las entradas por debajo de la diagonal principal (de izquierda a derecha), sin incluir la diagonal principal, son iguales. Dado un entero positivo $m$ , demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que para cualquier entero positivo $n>M$ y una matriz binaria $n \times n$ dada $A_n$ , podemos seleccionar enteros $1 \leq i_1 <i_2< \cdots < i_{n-m} \leq n$ y eliminar las filas $i_i$ - ésima, $i_2$ - ésima , $\cdots$ , $i_{n-m}$ - ésima y las columnas $i_i$ - ésima, $i_2$ - ésima , $\cdots$ , $i_{n-m}$ - ésima de $A_n$ , entonces la matriz binaria resultante $B_m$ es $\textsl{Good}$ .

2 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Las dos tangentes a $\omega$ desde $B$ y $C$ se intersecan en $P$ , $AP$ y $BC$ se intersecan en $D$ . Los puntos $E$ , $F$ están sobre $AC$ y $AB$ tales que $DE \parallel BA$ y $DF \parallel CA$ . (1) Demuestre que $F,B,C,E$ son concíclicos. (2) Denote $A_{1}$ el centro de la circunferencia que pasa por $F,B,C,E$ . $B_{1}$ , $C_{1}$ se definen de manera análoga. Demuestre que $AA_{1}$ , $BB_{1}$ , $CC_{1}$ son concurrentes.

La sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$ se define como sigue: $a_1=2^{2024}+1$ y $a_{n+1}$ es el mayor factor primo de $a_n^2-1$ para $1 \leq n \leq 2024$ . Halle el valor de $a_{2024}+a_{2025}$ .

2 Dado un número primo $p$ . $a_1,a_2 \cdots a_k$ ( $k \geq 3$ ) son enteros no divisibles por $p$ y tienen residuos distintos al dividirlos por $p$ . Sea \[ S_n= \{ n \mid 1 \leq n \leq p-1, (na_1)_p < \cdots < (na_k)_p \} \] Aquí $(b)_p$ denota el residuo al dividir el entero $b$ por $p$ . Demuestre que $|S|< \frac{2p}{k+1}$ .

3 Halle el menor entero positivo $n$ ( $n\geq 3$ ) tal que entre cualesquiera $n$ puntos (sin tres colineales) en el plano, existan tres puntos que sean los vértices de un triángulo no isósceles.

1 Sean $ b, m, n$ enteros positivos tales que $ b > 1$ y $ m \neq n.$ Demuestre que si $ b^m - 1$ y $ b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos, entonces $ b + 1$ es una potencia de 2. sam-n