Sea $n\geq 3$ un entero positivo, y sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ círculos unitarios en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$, respectivamente. Si no existe ninguna línea que pasa por más de dos de estos círculos, muestra que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i\lt j\leq n}{\frac{1}{O_iO_j}}\leq{(n-1)\pi\over 4}. \]

Muestra que para cualesquiera reales positivos $a$, $b$, $c$, se cumple que\n\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$, y $P$ el pie de altura de $A$ a $BC$. Si $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$, muestra que $\angle A+\angle COP \lt 90^{\circ}$.

Sean $a\gt b\gt c\gt d$ enteros positivos tales que \[ ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Muestra que $ab + cd$ no es primo.

¿Existe un entero positivo $n$ que tiene $2000$ divisores primos y divide a $2^n+1$?

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en los puntos $M$ y $N$. Sea $AB$ la línea tangente a estos círculos en $A$ y $B$, respectivamente, tal que $M$ está entre $N$ y $AB$. Sea $CD$ la línea paralela a $AB$ que pasa por el punto $M$, con $C$ en $\Gamma_1$ y $D$ en $\Gamma_2$. Las líneas $AC$ y $BD$ se cortan en $E$, las líneas $AN$ y $CD$ se cortan en $P$, y las líneas $BN$ y $CD$ se cortan en $Q$. Muestra que $EP=EQ$.

Sean $a$, $b$, $c$ reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que \n\[ \left( a - 1 + \frac 1b \right) \left( b - 1 + \frac 1c \right) \left( c - 1 + \frac 1a \right) \leq 1. \]

Sean $ AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Su incírculo toca a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ en $T_1$, $T_2$ y $T_3$, respectivamente. Considera las imágenes simétricas de las líneas $ H_1H_2, H_2H_3$ y $ H_3H_1$ con respecto a las líneas $ T_1T_2, T_2T_3$ y $ T_3T_1$. Muestra que estas imágenes crean un triángulo cuyos vértices caen sobre el incírculo de $ABC$.

Una terna ordenada $(p, q, r)$ de números primos se llama parcera si $p$ divide $q^2-4$, $q$ divide $r^2-4$ y $r$ divide $p^2-4$. Encuentra todos las ternas parceras.

Un mago tiene $100$ cartas numeradas del $1$ al $100$. Las coloca dentro de tres cajas, una roja, una azul y una blanca, de manera que cada caja contiene al menos una carta. Un miembro de la audiencia elige dos cartas de dos cajas diferentes y anuncia la suma de los números escritos en ellas. Después, el mago encuentra la caja de la que no se tomó ninguna carta. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar las cartas en las cajas para que el truco siempre funcione?