3 Halle todos los números enteros no negativos tales que $7^x- 2 \cdot 5^y = -1$

1 La sucesión $a_n$ está definida por $a_1=\frac{1}{2}$ , $a_m=\frac{a_{m-1}}{2m \cdot a_{m-1} + 1}$ para $m>1$ . Determine el valor de $a_1+a_2+...+a_k$ en términos de $k$ , donde $k$ es un entero positivo.

2 Se tiene un polígono regular de $n$ lados, $n \geq 6$ . ¿Cuántos triángulos hay dentro del polígono tales que todos sus lados están formados por diagonales del polígono y sus vértices son vértices del polígono?

3 Sean $D$ y $E$ los pies de las alturas trazadas desde $A$ y $B$ del triángulo $ABC$ , sea $F$ el punto de intersección de la bisectriz trazada desde $C$ con el lado $AB$ , y sean $O$ , $I$ y $H$ el circuncentro, el centro de la circunferencia inscrita y el ortocentro del triángulo $ABC$ , respectivamente. Si $\frac{CF}{AD}+ \frac{CF}{BE}=2$ , demuestre que $OI = IH$ .

1 El triángulo $ABC$ es rectángulo en $C$ . Las rectas $AM$ y $BN$ son bisectrices interiores. $AM$ y $BN$ intersecan a la altura $CH$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestre que la recta que pasa por los puntos medios de los segmentos $QN$ y $PM$ es paralela a $AB$ . Math-lover123

2 La sucesión $a_n$ está definida por $a_0=a_1=1$ y $a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}-4$ , para todos los enteros positivos $n$ . Demuestre que todos los términos de esta sucesión son cuadrados perfectos. Math-lover123

Lucía multiplica algunos números positivos de una cifra (no necesariamente distintos) y obtiene un número $n$ mayor que 10. Luego, multiplica todos los dígitos de $n$ y obtiene un número impar. Encuentre todos los valores posibles del dígito de las unidades de $n$ . $\textit{Propuesto por Pablo Serrano, Ecuador}$

3 Demuestre que en un conjunto formado por $\binom{2n}{n}$ personas podemos encontrar un grupo de $n+1$ personas en el que todos se conocen entre sí o nadie conoce a nadie. Math-lover123

4 Halle todos los primos $p,q$ tales que $p$ divide a $30q-1$ y $q$ divide a $30p-1$ . Math-lover123

5 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales no negativos cuya suma es igual a $1$ . Sea $F_n=x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots +x_n^{2}-2(x_1x_2+x_2x_3+\cdots +x_nx_1)$ . Halle: a) $\min F_3$ ; b) $\min F_4$ ; c) $\min F_5$ . Math-lover123