Hay $2021$ personas en una reunión. Se sabe que una persona de la reunión no tiene ningún amigo allí y que otra persona sólo tiene un amigo allí (la amistad es reciproca). Además, es cierto que, dadas cualesquiera $4$ personas, al menos $2$ de ellas son amigos. Demuestra que hay $2018$ personas en la reunión que son todas amigas entre sí.

Sea $n\geq 2$ un entero positivo y $\lambda$ un real positivo. Inicialmente hay $n$ pulgas en una línea horizontal, no todas en el mismo punto. Definimos un movimiento como elegir dos pulgas en puntos $A$ y $B$ (con $A$ a la izquierda de $B$), y hacer que la pulga en $A$ salte sobre la pulga $B$ al punto $C$ tal que $ \frac {BC}{AB} = \lambda$. Encuentra todos los valores de $\lambda$ tales que para cualquier punto $M$ en la línea y cualquier posición inicial de las pulgas, existe una secuencia de movimientos que llevará a todas las pulgas a la derecha de $M$.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CD$ es paralelo a la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sea $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$, y $F$ la intersección de $BC$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ADC$ distinta de $C$. Por último, sea $G$ la intersección de la recta $AB$ con la bisectriz interna del $\angle DCF$. Demuestra que $E, G, F$ y $C$ se encuentran en la misma circunferencia.

Sea $n \geq 3$ un número entero y $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el menor y $M$ el mayor de estos números. Se sabe que para cualesquiera enteros distintos $1 \leq i,j,k \leq n$, si $a_i \leq a_j \leq a_k$ entonces $a_ia_k \leq a_j^2$. \nDemuestra que\n\[ a_1a_2 \cdots a_n \geq m^2M^{n-2} \]\ny determina cuando la igualdad se mantiene.

En una mesa formada por $2021\times 2021$ cuadrados unitarios, algunos cuadrados están coloreados de negro de tal manera que si colocamos un ratón en el centro de cualquier cuadrado de la mesa, éste puede caminar en línea recta (hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha a lo largo de una columna o fila) y salir de la mesa sin pisar ningún cuadrado negro (aparte del inicial si es negro). ¿Cuál es el número máximo de casillas que pueden ser de color negro?

Un número entero positivo de cuatro dígitos se llama virtual si tiene la forma $\overline{abab},$ donde $a$ y $b$ son dígitos y $a \neq 0$. Por ejemplo, 2020, 2121 y 2222 son números virtuales, mientras que 2002 y 0202 no lo son. Encontrar todos los números virtuales de la forma $n^2+1$, para algún número entero positivo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC$ y sea $M$ el punto medio de $AC$. Se elige un punto $P$ (distinto de $B$) en el segmento $BC$ de forma que $AB=AP$. Sea $D$ la intersección de $AC$ con el circuncírculo del $\bigtriangleup ABP$ distinto de $A$, y $E$ la intersección de $PM$ con el circuncírculo del $\triangle ABP$ distinto de $P$. Sea $K$ la intersección de las rectas $AP$ y $DE$. Sea $F$ un punto sobre $BC$ (distinto de $P$) tal que $KP=KF$. Demuestra que $C, D, E$ y $F$ están en la misma circunferencia.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $a$, $b$ y $c$ son enteros tales que $a+b+c=0$, entonces \[ f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2. \]

Supongamos que tienes monedas idénticas distribuidas en varios montones con una o más monedas en cada uno de ellos. Una acción consiste en tomar dos montones, que tienen un total par de monedas entre ellos, y redistribuir sus monedas en dos montones para que terminen con el mismo número de monedas. Una distribución es "nivelable" si es posible, mediante 0 o más operaciones, acabar con todos los montones con el mismo número de monedas. Determina todos los enteros positivos $n$ tales que, para todos los enteros positivos $k$, cualquier distribución de $nk$ monedas en $n$ montones es nivelable.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sea $T$ la reflexión de $C$ respecto a $O$ y $T'$ la reflexión de $T$ respecto a la recta $AB$. La recta $BT'$ interseca de nuevo a $\omega$ en $R$. La perpendicular a $CT$ que pasa por $O$ corta a la recta $AC$ en $L$. Sea $N$ la intersección de las rectas $TR$ y $AC$. Demuestra que $\overline{CN}=2\overline{AL}$.