Sea $ABC$ un triángulo con $AB = BC$ . Demuestra que $\triangle ABC$ es un triángulo obtuso si y sólo si la ecuación $$Ax^2 + Bx + C = 0$$ tiene dos raíces reales distintas, donde $A$ , $B$ , $C$ , son los ángulos en radianes.

Llamamos a un par de polígonos, $p$ y $q$ , anidados si podemos dibujar uno dentro del otro, posiblemente después de la rotación y/o reflexión; de lo contrario, los llamamos no anidados. Sean $p$ y $q$ polígonos. Demuestra que si podemos encontrar un polígono $r$ , que es similar a $q$ , tal que $r$ y $p$ no están anidados si y sólo si $p$ y $q$ no son similares.

Determinar todas las soluciones reales al siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} y = 4x^3 + 12x^2 + 12x + 3\\ x = 4y^3 + 12y^2 + 12y + 3. \end{cases}$$

Una baraja de $2n+1$ cartas consiste en un comodín y, para cada número entre 1 y $n$ inclusive, dos cartas marcadas con ese número. Las $2n+1$ cartas se colocan en una fila, con el comodín en el medio. Para cada $k$ con $1 \leq k \leq n,$ las dos cartas numeradas $k$ tienen exactamente $k-1$ cartas entre ellas. Determina todos los valores de $n$ que no excedan 10 para los cuales esta disposición es posible. ¿Para qué valores de $n$ es imposible?

Resuelve la ecuación\n\[ x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = 3\]

En el diagrama, $ABCD$ es un cuadrado, con $U$ y $V$ puntos interiores de los lados $AB$ y $CD$ respectivamente. Determina todas las formas posibles de seleccionar $U$ y $V$ para maximizar el área del cuadrilátero $PUQV$.

Para $x,y,z \geq 0,$ demuestra la desigualdad\n\[ x(x-z)^2 + y(y-z)^2 \geq (x-z)(y-z)(x+y-z)\]\ny determina cuándo se cumple la igualdad.

Demuestra que el producto de los primeros $n$ números naturales es divisible por la suma de los primeros $n$ números naturales si y sólo si $n+1$ no es un número primo impar.

Tenemos una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios. Escribimos en cada cuadrado unitario un número real, tal que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier cuadrado de $n*n$ es menor o igual que $1$ . Demuestra que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier rectangular de $m*n$ es menor o igual que $4$ .

Sean $O,H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$ . Sea $F$ el pie de la perpendicular desde C sobre AB, y $M$ el punto medio de $CH$ . Sea N el pie de la perpendicular desde C sobre la paralela a través de H en $OM$ . Sea $D$ en $AB$ tal que $CA=CD$ . Sea $BN$ intersecar $CD$ en $P$ . Sea $PH$ intersecar $CA$ en $Q$ . Demuestra que $QF\perp OF$ .