Sea $ABC$ un triángulo y sea su incírculo $\gamma$ toque los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Sea $P$ un punto estrictamente en el interior de $\gamma.$ Los segmentos $PA,PB,PC$ cruzan $\gamma$ en $A_0,B_0,C_0$ respectivamente. Sean $S_A,S_B,S_C$ los centros de los círculos $PEF,PFD,PDE$ respectivamente y sean $T_A,T_B,T_C$ los centros de los círculos $PB_0C_0,PC_0A_0,PA_0B_0$ respectivamente. Demuestra que $S_AT_A, S_BT_B$ y $S_CT_C$ son concurrentes.

Fija un entero no negativo $a_0$ para definir una secuencia de enteros $a_0,a_1,\ldots$ dejando que $a_k,k\geq 1$ sea el entero más pequeño (estrictamente) mayor que $a_{k-1}$ haciendo que $a_{k-1}+a_k{}$ sea un cuadrado perfecto. Sea $S{}$ el conjunto de enteros positivos no expresables como la diferencia de dos términos de la secuencia $(a_k)_{k\geq 0}.$ Demuestra que $S$ es finito y determina su tamaño en términos de $a_0.$

Un conjunto finito $\mathcal{L}$ de líneas coplanares, de las cuales no hay tres concurrentes, se llama impar si, para cada línea $\ell$ en $\mathcal{L}$ el número total de líneas en $\mathcal{L}$ cruzadas por $\ell$ es impar. Demuestra que cada conjunto finito de líneas coplanares, de las cuales no hay tres concurrentes, se extiende a un conjunto impar de líneas coplanares. Dado un entero positivo $n$ determina el entero no negativo más pequeño $k$ que satisface la siguiente condición: Cada conjunto de $n$ líneas coplanares, de las cuales no hay tres concurrentes, se extiende a un conjunto impar de $n+k$ líneas coplanares.

Considera un número primo $p\geqslant 11$ . Llamamos a una terna $a,b,c$ de números naturales adecuada si dan residuos no nulos y distintos por pares módulo $p{}$ . Además, para cualquier número natural $a,b,c,k$ definimos \[f_k(a,b,c)=a(b-c)^{p-k}+b(c-a)^{p-k}+c(a-b)^{p-k}.\] Demuestra que existen $a,b,c$ adecuados para los cuales $p\mid f_2(a,b,c)$ . Además, para cada terna, demuestra que existe $k\geqslant 3$ para el cual $p\nmid f_k(a,b,c)$ y determina el $k{}$ mínimo con esta propiedad.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ y sea $D{}$ el otro punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle A$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Sean $E{}$ y $F{}$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $AE = AF$ y sea $P{}$ el punto de intersección de $AD$ y $EF$ . Sea $M{}$ el punto medio de $BC{}$ . Demuestra que $AM$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEF$ y $PMD$ pasan por un punto común.

Alice está dibujando una forma en un pedazo de papel. Ella comienza colocando su lápiz en el origen, y luego dibuja segmentos de línea de longitud uno, alternando entre segmentos verticales y horizontales. Eventualmente, su lápiz regresa al origen, formando una forma cerrada que no se auto-intersecta. Demuestra que el área de esta forma es par si y solo si su perímetro es un múltiplo de ocho.

Sean $m,n\geq 2$ enteros positivos y $S\subseteq [1,m]\times [1,n]$ un conjunto de puntos de la retícula. Demuestra que si \[|S|\geq m+n+\bigg\lfloor\frac{m+n}{4}-\frac{1}{2}\bigg\rfloor\] entonces existe un círculo que pasa por al menos cuatro puntos distintos de $S.$

Cualquier entero positivo $N$ que pueda expresarse como la suma de tres cuadrados obviamente puede escribirse como \[N=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{1+abcd}\] donde $a,b,c,d$ son enteros no negativos. ¿Es verdadera la afirmación mutua?

Sea $n\geq 2$ un entero. Sean $a_{ij}, \ i,j=1,2,\ldots,n$ sean $n^2$ números reales positivos que satisfacen las siguientes condiciones: Para todo $i=1,\ldots,n$ tenemos $a_{ii}=1$ y, Para todo $j=2,\ldots,n$ los números $a_{ij}, \ i=1,\ldots, j-1$ forman una permutación de $1/a_{ji}, \ i=1,\ldots, j-1.$ Dado que $S_i=a_{i1}+\cdots+a_{in}$ , determina el valor máximo de la suma $1/S_1+\cdots+1/S_n.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $B'$ y $C'$ los pies de las alturas $B$ y $C$ del triángulo $ABC$ respectivamente. Sean $B_A'$ y $B_C'$ reflejos de $B'$ con respecto a las líneas $BC$ y $AB$ , respectivamente. El círculo $BB_A'B_C'$ , centrado en $O_B$ , intersecta la línea $AB$ en $X_B$ por segunda vez. Los puntos $C_A', C_B', O_C, X_C$ se definen análogamente, reemplazando el par $(B, B')$ con el par $(C, C')$ . Demuestra que $O_BX_B$ y $O_CX_C$ son paralelos.