Un acto de circo consiste en $2024$ palos de bambú de alturas distintas por pares colocados en algún orden, con un mono parado encima de uno de ellos. El maestro de circo puede entonces dar órdenes al mono de la siguiente manera: ___ $\bullet$ ¡Izquierda! : Cuando se da esta orden, el mono localiza el palo de bambú más cercano a la izquierda más alto que aquel en el que se encuentra actualmente, y salta a él. Si no hay tal palo, el mono se queda quieto. ___ $\bullet$ ¡Derecha! : Cuando se da esta orden, el mono localiza el palo de bambú más cercano a la derecha más alto que aquel en el que se encuentra actualmente, y salta a él. Si no hay tal palo, el mono se queda quieto. El maestro de circo afirma que dados dos palos de bambú cualesquiera, si el mono está originalmente encima del palo más corto, entonces después de dar a lo sumo $c$ órdenes puede reposicionar al mono encima del palo más alto. ¿Cuál es el valor posible más pequeño de $c$ ?