Define una secuencia $\langle f(n)\rangle^{\infty}_{n=1}$ de enteros positivos por $f(1) = 1$ y\n\[f(n) = \n\begin{cases} f(n-1) - n & \text{ si } f(n-1) > n;\\ f(n-1) + n & \text{ si } f(n-1) \leq n,\n\end{cases}\n\]\npara $n \geq 2.$ Sea $S = \{n \in \mathbb{N} \;\mid\; f(n) = 1993\}.$ (i) Demuestra que $S$ es un conjunto infinito. (ii) Encuentra el entero positivo más pequeño en $S.$ (iii) Si todos los elementos de $S$ están escritos en orden ascendente como\n\[ n_1 < n_2 < n_3 < \ldots ,\n\]\nmuestra que\n\[ \lim_{i\rightarrow\infty} \frac{n_{i+1}}{n_i} = 3.\n\]