Se da un rectángulo $ABCD$ cuyos lados tienen longitudes $3$ y $2n$ , donde $n$ es un número natural. Denotemos por $U(n)$ el número de formas en que se puede cortar el rectángulo en rectángulos de lados $1$ y $2$ . $(a)$ Demostrar que $\displaystyle U(n + 1)+U(n -1) = 4U(n);$ $(b)$ Demostrar que $\displaystyle U(n) =\frac{1}{2\sqrt{3}}[(\sqrt{3} + 1)(2 +\sqrt{3})^n + (\sqrt{3} - 1)(2 -\sqrt{3})^n].$