Para enteros positivos $ n,$ los números $ f(n)$ se definen inductivamente como sigue: $ f(1) = 1,$ y para cada entero positivo $ n,$ $ f(n+1)$ es el entero más grande $ m$ tal que existe una progresión aritmética de enteros positivos $ a_1 < a_2 < \ldots < a_m = n$ para la cual \[ f(a_1) = f(a_2) = \ldots = f(a_m).\] Pruebe que existen enteros positivos $ a$ y $ b$ tales que $ f(an+b) = n+2$ para cada entero positivo $ n.$