La base de un prisma inclinado es un triángulo $ABC$ . La proyección perpendicular de $B_1$ , uno de los vértices superiores, es el punto medio de $BC$ . El ángulo diedro entre las caras laterales a través de $BC$ y $AB$ es $\alpha$ , y las aristas laterales del prisma forman un ángulo $\beta$ con la base. Si $r_1, r_2, r_3$ son exradios de una sección perpendicular del prisma, asumiendo que en $ABC, \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1, \angle A < \angle B < \angle C,$ y $BC = a$ , calcule $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3.$