Un cuadrado con lado $2008$ se divide en regiones que son todos cuadrados con lado $1$ . En cada región, se escribe $0$ o $1$ , y el número de $1$ ' s y $0$ ' s es el mismo. Se elimina la frontera entre dos de las regiones, y también se eliminan los números en cada una de ellas, mientras que en la nueva región, se registra su media aritmética. Después de varias de esas operaciones, sólo queda un cuadrado, que es el cuadrado grande en sí mismo. Demuestre que es posible realizar estas operaciones de tal manera, que el número final en el cuadrado grande sea menor que $\frac{1}{2^{10^6}}$ .