Sean $m, n, p$ números reales positivos fijos que satisfacen $mnp = 8$. Dependiendo de estas constantes, encuentre el mínimo de $$x^2+y^2+z^2+ mxy + nxz + pyz,$$ donde $x, y, z$ son números reales positivos arbitrarios que satisfacen $xyz = 8$. ¿Cuándo se alcanza la igualdad? Resuelva el problema para: $m = n = p = 2,$ números reales positivos arbitrarios (pero fijos) $m, n, p.$