Sea $n$ un entero positivo. Inicialmente, un alfil se coloca en cada casilla de la fila superior de un tablero de ajedrez de $2^n \times 2^n$; esos alfiles están numerados de $1$ a $2^n$ de izquierda a derecha. Un salto es un movimiento simultáneo realizado por todos los alfiles de tal manera que cada alfil se mueve diagonalmente, en línea recta, un cierto número de casillas, y al final del salto, todos los alfiles se encuentran en diferentes casillas de la misma fila. Encuentre el número total de permutaciones $\sigma$ de los números $1, 2, \ldots, 2^n$ con la siguiente propiedad: Existe una secuencia de saltos tal que todos los alfiles terminan en la fila inferior dispuestos en el orden $\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(2^n)$, de izquierda a derecha.