$ a,b,c,d \in [0,1]$ y $ x,y,z,t \in [0, \frac{1}{2}]$ y $ a+b+c+d=x+y+z+t=1$ . Probar que: \n$ (i)$ $ ax+by+cz+dt$ $ \geq$ $ min( {\frac{a+b}{2} , \frac{b+c}{2} , \frac{c+d}{2} , \frac{d+a}{2} , \frac{a+c}{2} , \frac{b+d}{2} })$\n$ (ii)$ $ ax+by+cz+dt$ $ \geq$ $ 54abcd$