La sucesión $a_{n,k} \ , k = 1, 2, 3,\ldots, 2^n \ , n = 0, 1, 2,\ldots,$ está definida por la siguiente fórmula de recurrencia: \[a_1 = 2,\qquad a_{n,k} = 2a_{n-1,k}^3, \qquad , a_{n,k+2^{n-1}} =\frac 12 a_{n-1,k}^3\] \[\text{para} \quad k = 1, 2, 3,\ldots, 2^{n-1} \ , n = 0, 1, 2,\ldots\] Demuestra que los números $a_{n,k}$ son todos diferentes.