Dadas dos sucesiones de números positivos $\{a_k\}$ y $\{b_k\} \ (k \in \mathbb N)$ tales que: (i) $a_k < b_k,$ (ii) $\cos a_kx + \cos b_kx \geq -\frac 1k $ para todo $k \in \mathbb N$ y $x \in \mathbb R,$ demuestre la existencia de $\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k}$ y encuentre este límite.