Para cada entero $a_0 \gt 1$, se define la sucesión $a_0, a_1, a_2, \dots$ tal que para cada $n \ge 0$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n}$ si $\sqrt{a_n}$ es entero, y $a_{n+1} = a_n + 3$ en otro caso. Determina todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$.