Sea $S$ el conjunto de todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos relativamente primos $m,n$ con $n$ par y $m < n.$ Para $s = (m,n) \in S$ escriba $n = 2^k \cdot n_o$ donde $k, n_0$ son enteros positivos con $n_0$ impar y defina \[ f(s) = (n_0, m + n - n_0). \] Demuestre que $f$ es una función de $S$ a $S$ y que para cada $s = (m,n) \in S,$ existe un entero positivo $t \leq \frac{m+n+1}{4}$ tal que \[ f^t(s) = s, \] donde \[ f^t(s) = \underbrace{ (f \circ f \circ \cdots \circ f) }_{t \text{ times}}(s). \] Si $m+n$ es un número primo que no divide $2^k - 1$ para $k = 1,2, \ldots, m+n-2,$ demuestre que el valor más pequeño $t$ que satisface las condiciones anteriores es $\left [\frac{m+n+1}{4} \right ]$ donde $\left[ x \right]$ denota el mayor entero $\leq x.$