Sean $x_1,x_2,\cdots,x_n$ números reales con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$ . Demuestre que \[\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{k}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} ix_i^2}}\right)^2 \cdot \dfrac{x_k^2}{k} \leq \left(\dfrac{n-1}{n+1}\right)^2 \sum_{k=1}^{n} \dfrac{x_k^2}{k}\] Determine cuándo se cumple la igualdad.