Las tangentes en $B$ y $A$ a la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ se encuentran con la tangente en $C$ en $T$ y $U$ respectivamente. $AT$ se encuentra con $BC$ en $P$, y $Q$ es el punto medio de $AP$; $BU$ se encuentra con $CA$ en $R$, y $S$ es el punto medio de $BR$. Pruebe que $\angle ABQ=\angle BAS$. Determine, en términos de razones de las longitudes de los lados, los triángulos para los cuales este ángulo es máximo.