Define una sucesión de números positivos $\{a_n\}$ como \[a_{1}=1,(n^2+1)a^2_{n-1}=(n-1)^2a^2_{n}.\] Demuestra que \[\frac{1}{a^2_1}+\frac{1}{a^2_2}+\cdots +\frac{1}{a^2_n}\le 1+\sqrt{1-\frac{1}{a^2_n}}\]