32 Sean $a, b, c$ números reales positivos y sea $[x]$ el mayor entero que no excede al número real $x$. Suponga que $f$ es una función definida sobre el conjunto de los enteros no negativos $n$ y que toma valores reales tal que $f(0) = 0$ y \[f(n) \leq an + f([bn]) + f([cn]), \qquad \text{ para todo } n \geq 1.\] Demuestre que si $b + c < 1$, existe un número real $k$ tal que \[f(n) \leq kn \qquad \text{ para todo } n \qquad (1)\] mientras que si $b + c = 1$, existe un número real $K$ tal que $f(n) \leq K n \log_2 n$ para todo $n \geq 2$. Demuestre que si $b + c = 1$, puede no existir un número real $k$ que satisfaga $(1).$ Amir