Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cuatro puntos en el plano, con $C$ y $D$ en el mismo lado de la recta $AB$ , tales que $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ y $\angle ADB = 90^{\circ}+\angle ACB$ . Encuentra la razón \[\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}, \] y demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales. (Se dice que las circunferencias que se intersecan son ortogonales si en cualquier punto común sus tangentes son perpendiculares. Por lo tanto, demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales es equivalente a demostrar que las tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ en el punto $C$ son perpendiculares.)