Sea $f:[0,\infty )\rightarrow\mathbb{R}$ una función periódica, con período $1$ , integrable en $[0,1]$ . Para una sucesión estrictamente creciente e ilimitada $(x_n)_{n\ge 0},\, x_0=0,$ con $\lim_{n\rightarrow\infty} (x_{n+1}-x_n)=0$ , denotamos $r(n)=\max \{ k\mid x_k\le n\}$ . a) Demostrar que: $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{r(n)}(x_k-x_{k+1})f(x_k)=\int_0^1 f(x)\, dx$ b) Demostrar que: $ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^{r(n)}\frac{f(\ln k)}{k}=\int_0^1f(x)\, dx$