Sea $A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ tal que $a_{12}=a_{23}=\ldots=a_{p-1,p}=1$ y $a_{ij}=0$ para cualquier otra entrada.\na)Demuestra que $A^{p-1}\neq O_p$ y $A^p=O_p$ .\nb)Si $X\in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{C})$ y $AX=XA$ , demuestra que existen $a_1,a_2,\ldots,a_p\in \mathbb{C}$ tales que:\n\[X=\left( \begin{array}{ccccc}\na_1 & a_2 & a_3 & \ldots & a_p \\\n0 & a_1 & a_2 & \ldots & a_{p-1} \\\n0 & 0 & a_1 & \ldots & a_{p-2} \\\n\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\\n0 & 0 & 0 & \ldots & a_1\n\end{array} \right)\]\nc)Si existen $B,C\in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ tales que $(I_p+A)^n=B^n+C^n,\ (\forall)n\in \mathbb{N}^*$ , demuestra que $B=O_p$ o $C=O_p$ .