Sea $M>1$ un número natural. Tom y Jerry juegan un juego. Jerry gana si puede producir una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfaga $f(M) \ne M$ , $f(k)<2k$ para todo $k \in \mathbb{N}$ , $f^{f(n)}(n)=n$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . Para cada $\ell>0$ definimos $f^{\ell}(n)=f\left(f^{\ell-1}(n)\right)$ y $f^0(n)=n$ . Tom gana en caso contrario. Pruebe que para infinitos $M$ , Tom gana, y para infinitos $M$ , Jerry gana.