Para un entero positivo $n$ , defina una función $ f_n (x) $ en un intervalo $ [ 0, n+1 ] $ como \[ f_n (x) = ( \sum_{i=1} ^ {n} | x-i | )^2 - \sum_{i=1} ^{n} (x-i)^2 . \] Sea $ a_n $ el valor mínimo de $f_n (x) $. Encuentre el valor de \[ \sum_{n=1}^{11} (-1)^{n+1} a_n . \]