Dado un entero positivo $k$, demuestra que existe un primo $p$ tal que se pueden elegir enteros distintos $a_1, a_2, \cdots, a_{k+3} \in \{1, 2, \cdots, p-1\}$ tal que $p$ divide a $a_i a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3} - i$ para todo $i = 1, 2, \cdots, k$.