Se definen los números $u_{n,k} \ (1\leq k \leq n)$ como sigue: \[u_{1,1}=1, \quad u_{n,k}=\binom{n}{k} - \sum_{d \mid n, d \mid k, d>1} u_{n/d, k/d}.\] (se define la suma vacía como igual a cero). Demuestra que $n \mid u_{n,k}$ para cada número natural $n$ y para cada $k \ (1 \leq k \leq n).$