4 Considere la sucesión $(a_n)_{n\ge 1}$ definida por $a_n=n$ para $n\in \{1,2,3,4,5,6\}$, y para $n \ge 7$: $$a_n={\lfloor}\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{2}{\rfloor}$$ donde ${\lfloor}x{\rfloor}$ es el mayor entero menor o igual a $x$. Por ejemplo: ${\lfloor}2.4{\rfloor} = 2, {\lfloor}3{\rfloor} = 3$ y ${\lfloor}\pi {\rfloor}= 3$. Para todo entero $n \ge 2$, sea $S_n = \{a_1,a_2,...,a_n\} - \{r_n\}$ donde $r_n$ es el resto cuando $a_1 + a_2 + ... + a_n$ se divide por $3$. El signo menos $-$ denota la notación de "eliminarlo si está presente". Por ejemplo: $S_4 = \{2,3,4\}$ porque $r_4= 1$, por lo que $1$ se elimina de $\{1,2,3,4\}$. Sin embargo, $S_5 = \{1,2,3,4,5\}$ porque $r_5 = 0$ y $0$ no está en el conjunto $\{1,2,3,4,5\}$. 1. Determine $S_7, S_8, S_9$ y $S_{10}$. 2. Decimos que un conjunto $S_n$ para $n\ge 6$ está bien equilibrado si puede particionarse en tres subconjuntos disjuntos dos a dos con igual suma. Por ejemplo: $S_6 = \{1,2,3,4,5,6\} = \{1,6\}\cup \{2,5\}\cup \{3,4\}$ y $1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4$. Demuestre que $S_7, S_8, S_9$ y $S_{10}$ están bien equilibrados. 3. ¿Está el conjunto $S_{2019}$ bien equilibrado? Justifique su respuesta.