Pedro eligió un entero positivo, lo multiplicó por 5, multiplicó el resultado por 5, luego multiplicó el resultado por 5 nuevamente y así sucesivamente. En total se hicieron $k$ multiplicaciones. Resultó que las representaciones decimales del número original y de todos los $k$ números resultantes de esta sucesión no contienen el dígito $7$ . Demuestre que existe un entero positivo tal que puede ser multiplicado $k$ veces por $2$ de modo que ningún número de esta sucesión contenga el dígito $7$ .