Sea $p$ un número primo y $f\in \mathbb{Z}[X]$ dado por \[ f(x) = a_{p-1}x^{p-2} + a_{p-2}x^{p-3} + \cdots + a_2x+ a_1 , \] donde $a_i = \left( \tfrac ip\right)$ es el símbolo de Legendre de $i$ con respecto a $p$ (i.e. $a_i=1$ si $ i^{\frac {p-1}2} \equiv 1 \pmod p$ y $a_i=-1$ en caso contrario, para todo $i=1,2,\ldots,p-1$ ) . a) Demuestre que $f(x)$ es divisible con $(x-1)$ , pero no con $(x-1)^2$ si y sólo si $p \equiv 3 \pmod 4$ ; b) Demuestre que si $p\equiv 5 \pmod 8$ entonces $f(x)$ es divisible con $(x-1)^2$ pero no con $(x-1)^3$ .