Sea $O$ el centro de un círculo. Sean $OU,OV$ radios perpendiculares del círculo. La cuerda $PQ$ pasa por el punto medio $M$ de $UV$ . Sea $W$ un punto tal que $PM = PW$ , donde $U, V,M,W$ son colineales. Sea $R$ un punto tal que $PR = MQ$ , donde $R$ se encuentra en la línea $PW$ . Demuestre que $MR = UV$ . Versión alternativa: Se da un círculo $S$ con centro $O$ y radio $r$ . Sea $M$ un punto cuya distancia desde $O$ es $\frac{r}{\sqrt{2}}$ . Sea $PMQ$ una cuerda de $S$ . El punto $N$ está definido por $\overrightarrow{PN} =\overrightarrow{MQ}$ . Sea $R$ la reflexión de $N$ por la línea que pasa por $P$ que es paralela a $OM$ . Demuestre que $MR =\sqrt{2}r$