$A, B, C$, y $D$ son los cuatro puntos diferentes en el círculo $O$ en el orden. Sea el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC$, que es tangente a $BC$, sea $O_1$. Sea el centro del círculo inscrito del triángulo $ACD$, que es tangente a $CD$, sea $O_2$. (1) Demuestra que el circuncentro del triángulo $ABO_1$ está en el círculo $O$. (2) Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $CO_1O_2$ siempre pasa por un punto fijo en el círculo $O$, cuando $C$ se mueve a lo largo del arco $BD$.