En el plano, los puntos con coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados están coloreados alternativamente de blanco y negro (como en un tablero de ajedrez). Para cualquier par de enteros positivos $ m$ y $ n$ , considere un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes $ m$ y $ n$ , se encuentran a lo largo de los lados de los cuadrados. Sea $ S_1$ el área total de la parte negra del triángulo y $ S_2$ el área total de la parte blanca. Sea $ f(m,n) = | S_1 - S_2 |$ . a) Calcule $ f(m,n)$ para todos los enteros positivos $ m$ y $ n$ que son ambos pares o ambos impares. b) Demuestre que $ f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n \}$ para todos los $ m$ y $ n$ . c) Demuestre que no existe una constante $ C\in\mathbb{R}$ tal que $ f(m,n) < C$ para todos los $ m$ y $ n$ .