Sea $A_1A_2...A_{101}$ un $101$ - gono regular, y coloree cada vértice de rojo o azul. Sea $N$ el número de triángulos obtusángulos que satisfacen lo siguiente: Los tres vértices del triángulo deben ser vértices del $101$ - gono, ambos vértices con ángulos agudos tienen el mismo color, y el vértice con ángulo obtuso tiene un color diferente. $(1)$ Encuentre el valor máximo posible de $N$ . $(2)$ Encuentre el número de formas de colorear los vértices tales que se alcance el máximo $N$ . (Dos coloraciones son diferentes si para algún $A_i$ los colores son diferentes en los dos esquemas de coloración).