En cada cuadrado de un jardín con forma de tablero de $2022 \times 2022$, inicialmente hay un árbol de altura $0$. Un jardinero y un leñador alternan turnos jugando el siguiente juego, con el jardinero tomando el primer turno: El jardinero elige un cuadrado en el jardín. Cada árbol en ese cuadrado y todos los cuadrados circundantes (de los cuales hay como máximo ocho) se vuelven una unidad más altos. Luego, el leñador elige cuatro cuadrados diferentes en el tablero. Cada árbol de altura positiva en esos cuadrados se vuelve una unidad más corto. Decimos que un árbol es majestuoso si su altura es al menos $10^6$. Determine el $K$ más grande tal que el jardinero pueda asegurar que eventualmente haya $K$ árboles majestuosos en el tablero, sin importar cómo juegue el leñador.