Maria tiene un tablero de tamaño $n \times n$, inicialmente con todas las casas pintadas de blanco. Maria decide pintar de negro algunas casas en el tablero, formando un mosaico, como se muestra en la figura a continuación, de la siguiente manera: ella pinta de negro todas las casas del borde del tablero, y luego deja blancas las casas que aún no han sido pintadas. Luego pinta las casas en el borde del siguiente tablero restante nuevamente de negro, y así sucesivamente. a) Determine un valor de $n$ para que el número de casas negras sea igual a $200$. b) Determine el valor más pequeño de $n$ para que el número de casas negras sea mayor que $2012$.