En un triángulo $ABC$, $\angle BAC = 90^{\circ}$. Sea $D$ el punto en $BC$ tal que $AB + BD = AC + CD$. Suponga $BD : DC = 2:1$. Si $\frac{AC}{AB} = \frac{m + \sqrt{p}}{n}$, Donde $m,n$ son enteros positivos relativamente primos y $p$ es un número primo, determine el valor de $m+n+p$.