Como se muestra en la siguiente figura, hay un segmento de línea que consta de cinco segmentos de línea $AB, BC, CD, DE, y EA$ y $10$ puntos de intersección de estos cinco segmentos de línea. Encuentra el número de formas de escribir $1$ o $2$ en cada uno de los $10$ vértices para que se cumplan las siguientes condiciones. $\bigstar$ La suma de los cuatro números escritos en cada segmento de línea $AB, BC, CD, DE, y EA$ es la misma.