Un árbol- $2$ de diez niveles se dibuja en el plano: un vértice $A_1$ está marcado, está conectado por segmentos con dos vértices $B_1$ y $B_2$ , cada uno de $B_1$ y $B_2$ está conectado por segmentos con dos de los cuatro vértices $C_1, C_2, C_3, C_4$ (cada $C_i$ está conectado con un $B_j$ exactamente); y así sucesivamente, hasta $512$ vértices $J_1, \ldots, J_{512}$ . Cada uno de los vértices $J_1, \ldots, J_{512}$ está coloreado de azul o dorado. Considere todas las permutaciones $f$ de los vértices de este árbol, tales que (i) si $X$ y $Y$ están conectados con un segmento, entonces también lo están $f(X)$ y $f(Y)$ , y (ii) si $X$ está coloreado, entonces $f(X)$ tiene el mismo color. Encuentra el máximo $M$ tal que haya al menos $M$ permutaciones con estas propiedades, independientemente de la coloración.