Un disco circular se divide en $ 2n$ sectores iguales mediante $ n$ líneas rectas que pasan por su centro. Luego, estos $ 2n$ sectores se colorean de tal manera que exactamente $ n$ de los sectores se colorean de azul, y los otros $ n$ sectores se colorean de rojo. Numeramos los sectores rojos con números del $ 1$ al $ n$ en sentido antihorario (comenzando en algunos de estos sectores rojos), y luego numeramos los sectores azules con números del $ 1$ al $ n$ en sentido horario (comenzando en algunos de estos sectores azules). Demuestre que se puede encontrar un medio disco que contenga sectores numerados con todos los números del $ 1$ al $ n$ (en algún orden). (En otras palabras, demuestre que se pueden encontrar $ n$ sectores consecutivos que estén numerados con todos los números $ 1$ , $ 2$ , ..., $ n$ en algún orden.) Problema 8 de CWMO 2007 $ n$ bolas blancas y $ n$ negras se colocan al azar en la circunferencia de un círculo. Comenzando desde una cierta bola blanca, numeramos todas las bolas blancas en el sentido de las agujas del reloj por $ 1,2,\dots,n$ . Del mismo modo, numeramos todas las bolas negras por $ 1,2,\dots,n$ en sentido antihorario comenzando desde una cierta bola negra. Demuestre que existe una cadena de $ n$ bolas cuya colección de numeración forma el conjunto $ \{1,2,3\dots,n\}$ .