Sea $n$ un entero positivo. Para cualquier entero positivo $j$ y número real positivo $r$ , defina $f_j(r)$ y $g_j(r)$ por \[f_j(r) = \min (jr, n) + \min\left(\frac{j}{r}, n\right), \text{ y } g_j(r) = \min (\lceil jr\rceil, n) + \min \left(\left\lceil\frac{j}{r}\right\rceil, n\right),\] donde $\lceil x\rceil$ denota el entero más pequeño mayor o igual que $x$ . Demuestre que \[\sum_{j=1}^n f_j(r)\leq n^2+n\leq \sum_{j=1}^n g_j(r)\] para todos los números reales positivos $r$ .